Question

14．如圖，在正五邊形ABCDE中，對角線AD，AC與EB分別交于點M，N，則下列結(jié)論正確的是（　�。�

• A． EM：AE=2：$（\sqrt{5}-1）$
• B． MN：EM=$（\sqrt{5}-1）$：$（3-\sqrt{5}）$
• C． AM：MN=$（3-\sqrt{5}）$：$（\sqrt{5}-1）$
• D． MN：DC=$（3-\sqrt{5}）$：2

Answer 1

分析 根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得到∠DAE=∠DAE，∠ADE=∠AEM=36°，推出△AME∽△AED，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，得到AE²=AD•AM，等量代換即可得到論．

解答 證明：∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴DE=AE=AB，∠AED=∠EAB=108°，
∴∠ADE=∠AEM=36°，
∴△AME∽△AED，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{EM}{AE}$，
∴AE²=AD•AM，
∵AE=DE=DM，
∴DM²=AD•AM，
設(shè)AE=DE=DM=2，
∴2²=AM（AM+2），
∴AM=$\sqrt{5}$-1，（負(fù)值設(shè)去），
∴EM=BN=AM=$\sqrt{5}$-1，AD=$\sqrt{5}$+1，
∵BE=AD，
∴MN=BE-ME-BN=3-$\sqrt{5}$，
∴MN：CD=$（3-\sqrt{5}）$：2，
故選D．

點評 本題考查了正五邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，黃金分割，熟記正五邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．