Question

【題目】聯(lián)想三角形內(nèi)心的概念，我們可引入如下概念．

定義：到三角形的兩邊距離相等的點，叫做此三角形的準內(nèi)心．

舉例：如圖1，若PD=PE，則點P為△ABC的準內(nèi)心．

應用：如圖2，BF為等邊三角形的角平分線，準內(nèi)心P在BF上，且PF=BP，求證：點P是△ABC的內(nèi)心．

探究：已知△ABC為直角三角形，∠C=90°，準內(nèi)心P在AC上，若PC=AP，求∠A的度數(shù)．

Answer 1

【答案】應用：見解析，探究：30°

【解析】

應用：由△ABC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ABC=60°，由角平分線的性質(zhì)∴∠PBE=30°，得到PE= PB，因為BF是等邊△ABC的角平分線，由三線合一得到BF⊥AC，PF=BF，證得PE=PD=PF，得到結論P是△ABC的內(nèi)心；
探究：根據(jù)題意得：PD=PC=AP，由銳角三角函數(shù)得到結論．

應用：∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=60°，

∵BF為角平分線，

∴∠PBE=30°，

∴PE=PB，

∵BF是等邊△ABC的角平分線，

∴BF⊥AC，

∵PF=BF，

∴PE=PD=PF，

∴P是△ABC的內(nèi)心；

探究：根據(jù)題意得：

PD=PC=AP，

∵，

∴∠A是銳角，

∴∠A=30°．