Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)C：y=mx2+4x+1．

（1）當(dāng)拋物線(xiàn)C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-5，6）時(shí)，求拋物線(xiàn)的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）當(dāng)直線(xiàn)y=-x+l與直線(xiàn)y=x+3關(guān)于拋物線(xiàn)C的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)時(shí)，求m的值；

（3）若拋物線(xiàn)C：y=mx2+4x+l（m＞0）與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在-l和0之間（不包括-l和0）．結(jié)合函數(shù)的圖象，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+4x+1，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-2，-3）；（2）m=2；（3）3＜m≤4．

【解析】試題分析：（1）把點(diǎn)A（-5，6）代入拋物線(xiàn)y=mx2+4x+1求出m的值，即可得出拋物線(xiàn)的表達(dá)式與頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先求出直線(xiàn)y=-x+1與直線(xiàn)y=x+3的交點(diǎn)，即可得出其對(duì)稱(chēng)軸，根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸方程求出m的值即可；
（3）根據(jù)拋物線(xiàn)C：y=mx2+4x+1（m＞0）與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在-1和0之間可知當(dāng)x=-1時(shí)，y＞0，且△≥0，求出m的取值范圍即可．

試題解析：

（1）∵拋物線(xiàn)C：y=mx2+4x+1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-5，6），
∴6=25m-20+1，解得m=1，
∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=x2+4x+1=（x+2）2-3，
∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-3）；

（2）∵直線(xiàn)y=-x+1與直線(xiàn)y=x+3的交點(diǎn)為（-1，2），
∴兩直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-1．
∵直線(xiàn)y=-x+1與直線(xiàn)y=x+3關(guān)于拋物線(xiàn)C的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，
∴- =-1，解得m=2；

（3）∵拋物線(xiàn)C：y=mx2+4x+1（m＞0）與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在-1和0之間，
∴當(dāng)x=-1時(shí)，y＞0，且△≥0，即

解得3＜m≤4．