Question

18．已知二次函數(shù)y=x²-2ax-2a-6（a為常數(shù)，a≠0）．
（1）求證：該二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點；
（2）設(shè)該二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A（-2，0）和點B，與y軸交于點C，線段BC的垂直平分線l與x軸交于點D．
①求點D的坐標；
②設(shè)點P是拋物線上的一個動點，點Q是直線l上的一個動點．以點B、D、P、Q為頂點的四邊形是否可能為平行四邊形？若能，直接寫出點Q的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)根的判別式，可得答案；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得B、C坐標，
①根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得DC=DB，根據(jù)勾股定理，可得答案；
②根據(jù)平行四邊形的對邊相等，可得關(guān)于m的方程，解方程，可得答案．

解答 （1）證明：y=x²-2ax-2a-6
      當a≠0時，（-2a）²-4（-2a-6）=4a²+8a+24=4（a+1）²+20
∵4（a+1）²≥0
∴4（a+1）²+20＞0
所以，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個公共點．        
（2）①如圖1，
把（-2，0）代入y=x²-2ax-2a-6得a=1
所以，y=x²-2x-8．
當x=0時，y=-8，即C（0，-8），當y時，x²-2x-8=0，解得x=2（不符合題意，舍），x=4，即B（4，0），
B（4，0）、C（0，-8）
∵點D在BC的垂直平分線上
∴DC=DB
設(shè)OD=x，則DC=DB=x+4，
在Rt△ODC中  OD²+OC²=DC²，
即x²+8²=（x+4）²，
解得x=6
所以D（-6，0）
②Q₁（$\frac{23}{2}$，-$\frac{35}{4}$）、Q₂（10，-8）、Q₃（-$\frac{25}{2}$，$\frac{13}{4}$）、Q₄（$\frac{1}{2}$，-$\frac{13}{4}$）．
設(shè)BC的中點為E，則點E （2，-4），
直線l的函數(shù)關(guān)系式為y=-$\frac{1}{2}$x-3，
以點B、D、P、Q為頂點的四邊形分以下兩種情況討論
第一種情況：當DB為四邊形的邊時，如圖2，
當PQ∥DB且PQ=DB時，四邊形DPQB為平行四邊形，
若PQ在x軸下方時，設(shè)點Q（m，-$\frac{1}{2}$m-3）則P（m-10，-$\frac{1}{2}$m-3），
因為點P在拋物線上，所以-$\frac{1}{2}$m-3=（m-10）²-2（m-10）-8．
解得m₁=$\frac{23}{2}$，m₂=10
所以Q₁（$\frac{23}{2}$，-$\frac{35}{4}$）、Q₂（10，-8）
若PQ在x軸上方時，設(shè)點Q（m，-$\frac{1}{2}$m-3）則P（m+10，-$\frac{1}{2}$m-3）
因為點P在拋物線上，所以-$\frac{1}{2}$m-3=（m+10）²-2（m+10）-8．
解得m₁=-$\frac{25}{2}$，m₂=-6（舍去）
所以Q₃（-$\frac{25}{2}$，$\frac{13}{4}$）
第二種情況：當DB為四邊形的對角線時
當DQ₄∥PB且DQ₄=PB時，四邊形D Q₄BP為平行四邊形
此時可發(fā)現(xiàn)DQ₄=PB=DQ₃，即D為Q₃Q₄的中點
所以，可求出Q₄點（$\frac{1}{2}$，-$\frac{13}{4}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用根的判別式是解題關(guān)鍵；利用勾股定理得出關(guān)于m的方程是解題關(guān)鍵，利用平行四邊形的對邊相等得出關(guān)于m的方程是解題關(guān)鍵．