Question

如圖，⊙A與y軸交于C、D兩點，圓心A的坐標為（1，0），直線BC：y=

1

2

x+2切⊙A于點C，交x軸于點B．
（1）⊙A的半徑為

 

；
（2）若點P是第一象限內⊙A上的一點，過點P作⊙A的切線與直線BC相交于點G，且∠CGP=120°，求點G的坐標；
（3）向左移動⊙A（圓心A始終保持在x軸上），與直線BC交于E、F，在移動過程中是否存在點A，使△AEF是直角三角形？若存在，求出點A的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）如圖，連接AC．根據直線BC的解析式易求點B、C的坐標；然后由垂徑定理，在直角△AOC中，由勾股定理可以求得半徑AC的長度；
（2）過G點作x軸垂線，垂足為H，連接AG，設G（x₀，y₀），在Rt△ACG中利用銳角三角函數的定義可求出CG的長，
由勾股定理可得出BC的長，由OC∥GH可得出

OH

BO

=

CG

BC

，進而可求出G點坐標；
（3）假設△AEF為直角三角形，由AE=AF可判斷出△AEF為等腰三角形，可得出∠EAF=90°，過A作AM⊥BC于M，
在Rt△AEF中利用勾股定理可求出EF的長度，證出△BOC∽△BMA，由相似三角形的性質可得出A點坐標；當圓心A在點B的左側時，設圓心為A′，過A′作A′M′⊥BC于M′，可得△A′M′B′≌△AMB，由全等三角形的性質可得出A′點的坐標．

解答：解：（1）如圖1，連接AC．
∵直線BC的解析式為y=

1

2

x+2，
∴當x=0時，y=2．
∴C（0，2）．
∴OC=2．
又∵圓心A的坐標為（1，0），
∴OA=1，
∴在直角△AOC中，由勾股定理得到：AC=

OA2+OC2

=

5

，即⊙A的半徑為

5

．
故答案是：

5

；

（2）如圖1，過G點作x軸垂線，垂足為H，連接AG，設G（x₀，y₀），
在Rt△ACG中，∠AGC=60°，AC=

5

，求得CG=

15

3

，
又∵OB=4，
∴BC=

OB2+OC2

=2

5

，
∵OC∥GH，
∴

OH

BO

=

CG

BC

，則OH=

2 3

3

，即x₀=

2 3

3

，
又∵點G在直線BC上，
∴y₀=

1

2

×

2 3

3

+2
=

3

3

+2，
∴G（

2 3

3

，

3

3

+2）；

（3）在移動過程中，存在點A，使△AEF為直角三角形．
∵點E、F在⊙A上，
∴AE=AF，
若△AEF為直角三角形，在∠EAF=90°，且為等腰三角形．
過A作AM⊥BC于M，
在Rt△AEF中，EF=

AE2+AF2

=

10

，
AM=

1

2

EF=

10

2

，
證出△BOC∽△BMA得，

OC

AM

=

BC

AB

，
而BC=

OC2+OB2

=

22+42

=2

5

，OC=2，可得AB=

5 2

2

，
∴OA=4-

5 2

2

，
∴A（-4+

5 2

2

，0），
當圓心A在點B的左側時，設圓心為A′，
過A′作A′M′⊥BC于M′，可得△A′M′B′≌△AMB，
∴A′B=AB=

5 2

2

，
∴OA′=OB+A′B=4+

5 2

2

，
∴A′（-4-

5 2

2

，0），
∴A（-4+

5 2

2

，0）或A′（-4-

5 2

2

，0）．

點評：本題考查的是切線的性質及相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質，待定系數法求一次函數的解析式，涉及面較廣，難度較大．