Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)y=

a

x

的圖象與一次函數(shù)y=kx+b的圖象交于點(diǎn)A（m，2）和C（-2，-3）
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）直接寫出當(dāng)x為何值時(shí)，kx+b-

a

x

＞0？
（3）設(shè)直線AC與y軸交于點(diǎn)B，若P是坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，且滿足△PAB的面積是6，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

專題：

分析：（1）把C點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式可求得a，把A點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得m，可得到A點(diǎn)坐標(biāo)，再把A、C坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式可求得k、b的值，可求得兩函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)圖象可直接得到不等式的解集；
（3）分P點(diǎn)在x軸和y軸上，分別設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)條件可得到關(guān)于坐標(biāo)的方程，可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵函數(shù)y=

a

x

的圖象過A、C兩點(diǎn)，
∴a=-2×（-3）=2m，解得a=6，m=3，
∴反比例函數(shù)解析式為y=

6

x

，A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），
又∵一次函數(shù)y=kx+b過A、C兩點(diǎn)，
∴把A、C坐標(biāo)代入可得

3k+b=2 -2k+b=-3

，解得

k=1 b=-1

，
∴一次函數(shù)解析式為y=x-1；
（2）∵kx+b-

a

x

＞0可化為kx+b＞

a

x

，
∴對(duì)應(yīng)x的范圍為滿足一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值的x的范圍，
∴x的范圍為x＞3或-2＜x＜0；
（3）設(shè)一次函數(shù)與x軸交于D點(diǎn)，

在y=x-1中，令x=0得y=-1，令y=0可得x=1，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1），D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
當(dāng)P點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)P為（x，0），
則PD=|x-1|，由A（3，2），B（0，-1）可得A、B兩點(diǎn)到x軸的距離分別為2、1，
∴S_△PAB=

1

2

×（2+1）×|x-1|=6，
解得x=5或-3，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0）或（-3，0）；
當(dāng)P點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)P為（0，y），
則PB=|y+1|，由A（3，2），可得A點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為3，
∴S_△PAB=

1

2

×|y+1|×3=6，
解得y=3或-5，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）或（0，-5），
綜上可知P點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0）或（-3，0）或（0，3）或（0，-5）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和函數(shù)的交點(diǎn)問題，掌握函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．注意分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．