Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，CD=2

17

cm，AD=24cm，BC=26cm，AB為⊙O的直徑．動點P從A點開始沿AD邊向點D以1 厘米/秒的速度運動，動點Q從點C開始沿CB邊向點B以3厘米/秒的速度運動，P、Q 分別從A、C兩點同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為 t 秒，求：
（1）求⊙O的直徑；
（2）求四邊形PQCD的面積y關于P、Q運動時間t的函數(shù)關系式；并求t為何值時，四邊形PQCD為平行四邊形？
（3）是否存在某一時刻t，使直線PQ與⊙O相切，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點D作DE⊥BC于E，在Rt△DCE中，利用勾股定理求解即可；
（2）AP=t厘米，CQ=3t厘米，PD=（24-t）厘米，BQ=（26-3t）厘米，四邊形PQCD的面積為：y=

1

2

CQ•AB+

1

2

PD•AB，代入即可求出函數(shù)關系式；當四邊形PQCD為平行四邊形時，PD=CQ，24-t=3t，繼而求出t值．
（3）若PQ與圓相切，切點G，作PH⊥BC于H，所以PH=AB=8，AP=t，QH=QB-HQ=（26-3t）-t=26-4t，PQ=BQ+AP=26-2t，根據(jù)勾股定理得PQ²=PH²+QH²，然后代入求值判斷即可．

解答：解：（1）過點D作DE⊥BC于E，
∴BE=AD=24，
又∵BC=26，
∴EC=2，…（2分）
在Rt△DCE中，由于CD=2

17

，
則DE=

CD2-EC2

=8，
所以⊙O的直徑為8厘米．…（4分）

（2）當P，Q運動t秒時，由點P，Q的運動速度為1厘米/秒和3厘米/秒，
則AP=t厘米；CQ=3t厘米
所以PD=（24-t）厘米，BQ=（26-3t）厘米，…（5分）
所以四邊形PQCD的面積為：y=

1

2

CQ•AB+

1

2

PD•AB…（6分）
則：y=

1

2

AB•(CQ+PD)=

1

2

×8×(3t+24-t)
即：y=8t+96(0≤t≤

26

3

)…（7分）
當四邊形PQCD為平行四邊形時
則：PD=CQ
∴24-t=3t              …（8分）
解得：t=6厘米
即t=6厘米時，四邊形PQCD為平行四邊形． …（9分）

（3）存在．           …（10分）
若PQ與圓相切，切點G，作PH⊥BC于H，
所以PH=AB=8，AP=t，
BH=QB-HQ=（26-3t）-t=26-4t，PQ=BQ+AP=26-2 t，…（11分）
根據(jù)勾股定理得PQ²=PH²+QH²，
所以（26-2t）²=64+（26-4t）²，…（12分）
解得t₁=

2

3

，t₂=8，…（13分）
因為t₁=

2

3

和t₂=8都在0≤t≤

26

3

內(nèi)，所以在t=

2

3

秒或t=8秒時，存在直線PQ與圓相切．…（14分）

點評：本題考查直角梯形的知識，同時考查了平行四邊形的性質(zhì)及勾股定理的運用，解題關鍵是對這些知識的熟練掌握及靈活運用．