【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點A(﹣1,0),B(3,0)兩點,與y軸交于點C(0,﹣3).
(1)求該拋物線的解析式及頂點M坐標;
(2)求△BCM面積與△ABC面積的比;
(3)若P是x軸上一個動點,過P作射線PQ∥AC交拋物線于點Q,隨著P點的運動,在拋物線上是否存在這樣的點Q,使以A,P,Q,C為頂點的四邊形為平行四邊形?若存在,請求出Q點坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,M(1,﹣4).(2)S△BCM:S△ABC=3:6=1:2.(3)Q點為(2,﹣3)或(1+,3)或(1﹣,3)
【解析】
試題分析:(1)有拋物線與x軸交于點A(﹣1,0),B(3,0)兩點,則可設拋物線解析式為y=a(x+1)(x﹣3).由與y軸交于點C(0,﹣3),則代入易得解析式,頂點易知.
(2)求△BCM面積與△ABC面積的比,由兩三角形不為同高或同底,所以考慮求解求出兩三角形面積再作比即可.因為S△BCM=S梯形OCMD+S△BMD﹣S△BOC,S△ABC=ABOC,則結論易得.
(3)由四邊形為平行四邊形,則對邊PQ、AC平行且相等,過Q點作x軸的垂線易得Q到x軸的距離=OC=3,又(1)得拋物線解析式,代入即得Q點橫坐標,則Q點可求.
解:(1)設拋物線解析式為y=a(x+1)(x﹣3),
∵拋物線過點(0,﹣3),
∴﹣3=a(0+1)(0﹣3),
∴a=1,
∴拋物線解析式為y=(x+1)(x﹣3)=x2﹣2x﹣3,
∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴M(1,﹣4).
(2)如圖1,連接BC、BM、CM,作MD⊥x軸于D,
∵S△BCM=S梯形OCMD+S△BMD﹣S△BOC
=(3+4)1+2×4﹣33
=+﹣=3
S△ABC=ABOC=43=6,
∴S△BCM:S△ABC=3:6=1:2.
(3)存在,理由如下:
①如圖2,當Q在x軸下方時,作QE⊥x軸于E,
∵四邊形ACQP為平行四邊形,
∴PQ平行且相等AC,
∴△PEQ≌△AOC,
∴EQ=OC=3,
∴﹣3=x2﹣2x﹣3,
解得 x=2或x=0(與C點重合,舍去),
∴Q(2,﹣3).
②如圖3,當Q在x軸上方時,作QF⊥x軸于F,
∵四邊形ACPQ為平行四邊形,
∴QP平行且相等AC,
∴△PFQ≌△AOC,
∴FQ=OC=3,
∴3=x2﹣2x﹣3,
解得 x=1+或x=1﹣,
∴Q(1+,3)或(1﹣,3).
綜上所述,Q點為(2,﹣3)或(1+,3)或(1﹣,3)
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【題目】已知關于x的方程(a﹣1)x2+2x+a﹣1=0.
(1)若該方程有一根為2,求a的值及方程的另一根;
(2)當a為何值時,方程僅有一個根?求出此時a的值及方程的根.
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【題目】已知張強家、體育場、文具店在同一直線上,下面的圖象反映的過程是:張強從家跑步去體育場,在那里鍛煉了一陣后又走到文具店去買筆,然后散步走回家.圖中表示時間,表示張強離家的距離.
根據圖象解答下列問題:
(1)體育場離張強家多遠?張強從家到體育場用了多少時間?
(2)體育場離文具店多遠?
(3)張強在文具店停留了多少時間?
(4)求張強從文具店回家過程中與的函數(shù)解析式.
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠A=60°,點E、F分別為AD、DC上的動點,∠EBF=60°,點E從點A向點D運動的過程中,AE+CF的長度( )
A. 逐漸增加 B. 逐漸減小
C. 保持不變且與EF的長度相等 D. 保持不變且與AB的長度相等
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【題目】在大課間活動中,同學們積極參加體育鍛煉,小明就本班同學“我最喜愛的體育項目”進行了一次調查統(tǒng)計,下面是他通過收集數(shù)據后,繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計圖(圖1,圖2).請你根據圖中提供的信息,解答以下問題:
(1)該班共有 名學生;
(2)補全條形統(tǒng)計圖;
(3)在扇形統(tǒng)計圖中,“乒乓球”部分所對應的圓心角度數(shù)為 ;
(4)若全校有2000名學生,則“其他”部分的學生人數(shù)為 .
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【題目】一個批發(fā)兼零售的文具店規(guī)定:凡一次購買鉛筆300枝以上,(不包括300枝),可以按批發(fā)價付款,購買300枝以下,(包括300枝)只能按零售價付款。小明來該店購買鉛筆,如果給八年級學生每人購買1枝,那么只能按零售價付款,需用120元,如果購買60枝,那么可以按批發(fā)價付款,同樣需要120元,
(1) 這個八年級的學生總數(shù)在什么范圍內?
(2) 若按批發(fā)價購買6枝與按零售價購買5枝的款相同,那么這個學校八年級學生有多少人?
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【題目】如圖,矩形紙片ABCD中,AD=5,AB=3.若M為射線AD上的一個動點,將△ABM沿BM折疊得到△NBM.若△NBC是直角三角形.則所有符合條件的M點所對應的AM長度的和為_____.
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【題目】如圖,△ABC內接于⊙O,AC是直徑,BC=BA,在∠ACB的內部作∠ACF=30°,且CF=CA,過點F作FH⊥AC于點H,連接BF.
(1)若CF交⊙O于點G,⊙O的半徑是4,求 的長;
(2)請判斷直線BF與⊙O的位置關系,并說明理由.
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【題目】如圖,在5×5的方格(每小格邊長為1)內有1只甲蟲A,它爬行規(guī)律總是先左右,再上下.規(guī)定:向右與向上為正,向左與向下為負.從A到B的爬行路線記為:A→B(+1,+4),從B到A的爬行路線為:B→A(﹣1,﹣4),其中第一個數(shù)表示左右爬行信息,第二個數(shù)表示上下爬行信息.
(1)圖中B→D( , ),C→ (+1, );
(2)若甲蟲A的爬行路線為A→B→C→D,計算甲蟲A爬行的路程?
(3)若甲蟲A的爬行路線依次為(+2,+3),(﹣2,+1),(+3,﹣5),(﹣4,+2),最終到達點P處,請在圖中標出甲蟲A的爬行路線示意圖及最終點P的位置.
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