Question

3．已知四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD邊上的點(diǎn)，DE與CF交于點(diǎn)G．
（1）如圖①，若四邊形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求證：△ADE∽△DCF；
（2）如圖②，若四邊形ABCD是平行四邊形，試探究：當(dāng)∠B與∠EGC滿足什么關(guān)系時(shí)，$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{CD}$成立？并證明你的結(jié)論；
（3）如圖③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90°，DE⊥CF，請(qǐng)直接寫出$\frac{DE}{CF}$的值．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)得出∠A=∠ADC=90°，由角的互余關(guān)系整除∠ADE=∠DCF，即可得出△ADE∽△DCF；
（2）在AD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)M，使CM=CF，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠CMF=∠CFM．由平行四邊形的性質(zhì)得出∠A=∠CDM，∠FCB=∠CFM，證出∠BEG+∠FCB=180°，得出∠AED=∠FCB，因此∠CMF=∠AED．證明△ADE∽△DCM，得出對(duì)應(yīng)邊成比例$\frac{DE}{CM}=\frac{AD}{CD}$，即可得出結(jié)論；
（3）連接AC、BD，交于點(diǎn)M，作CN⊥AD于N，由勾股定理求出BD，由SSS證明△ABD≌△CBD，得出∠ABD=∠CBD，由等腰三角形的性質(zhì)得出AM=CM，∠AMD=90°=∠BAD，證明△ABD∽△MAD，得出對(duì)應(yīng)邊成比例求出DM，由勾股定理求出AM，由△ACD的面積求出CN，證明△ADE∽△NCF，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=90°，
∴∠ADE+∠CDG=90°，
又∵DE⊥CF，∠CDG+∠DCF=90°，
∴∠ADE=∠DCF，
∴△ADE∽△DCF．
（2）解：當(dāng)∠B+∠EGC=180°時(shí)，$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{CD}$成立，理由如下：
在AD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)M，使CM=CF，如圖1所示：
則∠CMF=∠CFM．∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠A=∠CDM，∠FCB=∠CFM，
∵∠B+∠EGC=180°，
∴∠BEG+∠FCB=360°-（∠B+∠EGC）=180°，
又∵∠BEG+∠AED=180°，
∴∠AED=∠FCB，
∴∠CMF=∠AED．
∴△ADE∽△DCM，
∴$\frac{DE}{CM}=\frac{AD}{CD}$，
∴$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{CD}$；
（3）解：$\frac{DE}{CF}=\frac{25}{24}$；理由如下：
連接AC、BD，交于點(diǎn)M，作CN⊥AD于N，如圖2所示：
∵∠BAD=90°，AB=6，AD=8，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
在△ABD和△CBD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{DA=DC}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD=∠CBD，
∵AB=CB，
∴BD⊥AC，AM=CM，
∴∠AMD=90°=∠BAD，
又∵∠ADB=∠MDA，
∴△ABD∽△MAD，
∴AD：DM=BD：AD，
∴AD²=BD•DM，即8²=10DM，
∴DM=6.4，
∴AM=$\sqrt{A{D}^{2}-D{M}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-6．{4}^{2}}$=4.8，
∴AC=2AM=9.6，
∵△ACD的面積=$\frac{1}{2}$AD•CN=$\frac{1}{2}$AC•DM，
∴8×CN=9.6×6.4，
解得：CN=7.68，
∵DE⊥CF，
∴∠CFN=∠DAE，
∵CN⊥AD，
∴∠CNF=90°=∠DAE，
∴△ADE∽△NCF，
∴$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{CN}$=$\frac{8}{7.68}$=$\frac{25}{24}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是相似形綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形面積的計(jì)算等知識(shí)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等和三角形相似是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．