Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且與正比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn).

（1）求一次函數(shù)的解析式；

（2）點(diǎn)在軸上，當(dāng)最小時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或（，）.

【解析】

（1）由A、C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得答案；

（2）由一次函數(shù)解析式可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，可求得B點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B′的坐標(biāo)，連接B′C與x軸的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)，由B′、C坐標(biāo)可求得直線B′C的解析式，則可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）分兩種情形分別討論：①當(dāng)OC為邊時(shí)，四邊形OCFE是矩形，此時(shí)EO⊥OC；②當(dāng)OC為對角線時(shí)，四邊形OE′CF′是矩形，此時(shí)OE′⊥AC；分別求出E和E’的坐標(biāo)，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)和坐標(biāo)間的位置關(guān)系即可得到點(diǎn)的坐標(biāo).

解：（1）∵一次函數(shù)y＝mx＋n（m≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)C（3，6），

∴，解得，

∴一次函數(shù)的解析式為y＝x＋3；

（2）如圖，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B′，連接CB′交x軸于P，此時(shí)PB＋PC的值最�。�

∵B（0，3），C（3，6）

∴B′（0，-3），

設(shè)直線CB′的解析式為y=kx+b（k≠0），

則，解得：，

∴直線CB′的解析式為y＝3x3，

令y＝0，得x＝1，

∴P（1，0）；

（3）如圖，

①當(dāng)OC為邊時(shí)，四邊形OCFE是矩形，此時(shí)EO⊥OC，

∵直線OC的解析式為y＝2x，

∴直線OE的解析式為y＝x，

聯(lián)立，解得，

∴E（2，1），

∵EO＝CF，OE∥CF，

根據(jù)坐標(biāo)之間的位置關(guān)系易得：F（1，7）；

②當(dāng)OC為對角線時(shí)，四邊形OE′CF′是矩形，此時(shí)OE′⊥AC，

∴直線OE′的解析式為y＝x，

由，解得，

∴E′（，），

∵OE′＝CF′，OE′∥CF′，

根據(jù)坐標(biāo)之間的位置關(guān)系易得：F′（，），

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，7）或（，）．