設(shè)x1,x2是關(guān)于x的方程x2-4x+k+1=0的兩個實數(shù)根.試問:是否存在實數(shù)k,使得x1•x2>x1+x2成立?請說明理由.
(溫馨提示:關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),當(dāng)b2-4ac≥0時,則它的兩個實數(shù)根是:x1,2=
-b±
b2-4ac
2a
分析:方程有兩個實數(shù)根,必須滿足△=b2-4ac≥0,從而求出實數(shù)k的取值范圍,再利用根與系數(shù)的關(guān)系,找出其矛盾,證明出不存在符合條件的實數(shù)k.
解答:解:∵方程有實數(shù)根,
∴b2-4ac≥0,
∴(-4)2-4(k+1)≥0,
即k≤3.
解法一:又∵x=
(-4)2-4(k+1)
2
=2±
3-k
,
∴x1+x2=(2+
3-k
)+(2-
3-k
)=4.
x1•x2=(2+
3-k
)•(2-
3-k
)=k+1.
若x1•x2>x1+x2,
即k+1>4,∴k>3.
而這與k≤3相矛盾,
因此,不存在實數(shù)k,使得x1•x2>x1+x2成立.
解法二:又∵x1+x2=-
b
a
=4,
x1•x2=
c
a
=k+1(以下同解法一).
點評:一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù),且a≠0),根與系數(shù)的關(guān)系是:x1+x2=-
b
a
,x1x2=
c
a
,本題運用解法二更簡便.
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7、設(shè)x1、x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+a+3=0的兩個實數(shù)根,則x12+x22的最小值為
-7

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A、
m>1
n>2
B、
m>1
n<2
C、
m<1
n>2
D、
m<1
n<2

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