【題目】已知:矩形ABCD內(nèi)接于⊙O,連接 BD,點(diǎn)E在⊙O上,連接 BE交 AD于點(diǎn)F,∠BDC+45°=∠BFD,連接ED.
(1)如圖 1,求證:∠EBD=∠EDB;
(2)如圖2,點(diǎn)G是 AB上一點(diǎn),過點(diǎn)G作 AB的垂線分別交BE和 BD于點(diǎn)H和點(diǎn)K,若HK=BG+AF,求證:AB=KG;
(3)如圖 3,在(2)的條件下,⊙O上有一點(diǎn)N,連接 CN分別交BD和 AD于點(diǎn) M和點(diǎn) P,連接 OP,∠APO=∠CPO,若 MD=8,MC= 3,求線段 GB的長(zhǎng).
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)GB.
【解析】
(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)可知∠BDC=∠DBA,∠A=90°,再結(jié)合已知條件∠BDC+45°=∠BFD,通過角的等量代換可得出∠EBD=45°,又因?yàn)椤?/span>BED=90°,即可得出結(jié)論;
(2)過點(diǎn)K 作 KS⊥BE,垂足為 R,交 AB 于點(diǎn) S.證明△SRB≌△HRK,得出SB=HK,再證明△ABF≌△GKS,即可得出結(jié)論;
(3)過點(diǎn) O 分別作AD 和 CN 的垂線,垂足分別為 Q 和 T,連接 OC.通過證明△OQD≌△OTC,得出AD=CN=BC,連接ON,證△NOC≌△BOC,得出∠BCO=∠NCO
設(shè)∠OBC=∠OCB=∠NCO=α,由此得出∠MOC=2α,過點(diǎn) M 作 MW⊥OC,垂足為 W
在 OC 上取一點(diǎn) L,使 WL=OW,連接 ML,設(shè)OM=ML=LC=a,根據(jù)勾股定理可求出OM的值,繼而求出MW=3,WC=9,∴OB=OC=OD=13,BD=26,再解直角三角形即可.
解:(1)如圖1,∵矩形 ABCD
∴AB∥CD,∠A=90°
∴∠BDC=∠DBA,BD是⊙O的直徑
∴∠BED=90°
∵∠BFD=∠ABF+∠A,∠BFD=∠BDC+45°
∴∠ABF+∠A=∠BDC+45°
即∠ABF+90°=∠DBA+45°
∴∠DBA-∠ABF=45°
∴∠EBD=45°
∴∠EBD=∠EDB
(2)證明:如下圖 ,在圖2中,過點(diǎn)K 作 KS⊥BE,垂足為 R,交 AB 于點(diǎn) S.
∵KG⊥AB
∴∠BGH=∠KRH=∠SRB=∠KGS=90°
∴∠SBR=∠HKR
∵∠RBK=∠RKB=45°
∴BR=KR
∵∠SRB=∠HRK=90°
∴△SRB≌△HRK
∴SB=HK
∵SB=BG+SG,HK=BG+AF
∴BG+SG=BG+AF
∴SG=AF
∵∠ABF=∠GKS,∠BAF=∠KGS=90°
∴△ABF≌△GKS
∴AB=KG
(3)如下圖 ,在圖3中,過點(diǎn) O 分別作AD 和 CN 的垂線,垂足分別為 Q 和 T,連接 OC.
∵∠APO=∠CPO
∴OQ=OT
∵OD=OC,∠OQD=∠OTC=90°
∴△OQD≌△OTC
∴DQ=CT
∴AD=CN=BC
連接 ON
∵OC=OC,ON=OB
∴△NOC≌△BOC
∴∠BCO=∠NCO
設(shè)∠OBC=∠OCB=∠NCO=α
∴∠MOC=2α
過點(diǎn) M 作 MW⊥OC,垂足為 W
在 OC 上取一點(diǎn) L,使 WL=OW,連接 ML
∴MO=ML
∴∠MOL=∠MLO=2α
∴∠LCM=∠LMC=α
∴ML=CL
設(shè)OM=ML=LC=a
則OD=a+8=OC,∴OL=8,OW=WL=4
∵OM 2OW2MW2MC 2CW 2
∴
(9 舍去), 5
∴OM=5
∴MW=3,WC=9,∴OB=OC=OD=13,BD=26
∵∠GKB=∠CBD=∠ADB=∠BCO=∠MCW,tan∠MCW=
∴tan∠GKB=tan∠CBD=tan∠ADB=tan∠BCO=tan∠MCW=
∴CD=GK=AB
在 Rt△GKB 中,tan∠GKB=
∴GB
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象交軸于兩點(diǎn),交軸于點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,頂點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(1)求二次函數(shù)的解析式和直線的解析式;
(2)點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作軸的垂線,交拋物線于點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí),求線段長(zhǎng)度的最大值;
(3)在拋物線上是否存在異于的點(diǎn),使中邊上的高為,若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn),且CE=BD,連接AD,BE,AD與BE相交于點(diǎn)P,連接PC.則線段PC的最小值等于_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線:與直線分別交于點(diǎn).直線與交于點(diǎn).記線段,圍成的區(qū)域(不含邊界)為.橫,縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).
(1)當(dāng)時(shí),區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為_____;
(2)若區(qū)域內(nèi)沒有整點(diǎn),則的取值范圍是_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是⊙的直徑,是⊙的一條弦,,的延長(zhǎng)線交⊙于點(diǎn),交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),連接,且恰好∥,連接交于點(diǎn),延長(zhǎng)交于點(diǎn),連接.
(1)求證:是⊙的切線;
(2)求證:點(diǎn)是的中點(diǎn);
(3)當(dāng)⊙的半徑為時(shí),求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,用細(xì)線懸掛一個(gè)小球,小球在豎直平面內(nèi)的A、C兩點(diǎn)間來回?cái)[動(dòng),A點(diǎn)與地面距離AN=14cm,小球在最低點(diǎn)B時(shí),與地面距離BM=5cm,∠AOB=66°,求細(xì)線OB的長(zhǎng)度.(參考數(shù)據(jù):sin66°≈0.91,cos66°≈0.40,tan66°≈2.25)
【答案】15cm
【解析】
試題設(shè)細(xì)線OB的長(zhǎng)度為xcm,作AD⊥OB于D,證出四邊形ANMD是矩形,得出AN=DM=14cm,求出OD=x-9,在Rt△AOD中,由三角函數(shù)得出方程,解方程即可.
試題解析:設(shè)細(xì)線OB的長(zhǎng)度為xcm,作AD⊥OB于D,如圖所示:
∴∠ADM=90°,
∵∠ANM=∠DMN=90°,
∴四邊形ANMD是矩形,
∴AN=DM=14cm,
∴DB=14﹣5=9cm,
∴OD=x﹣9,
在Rt△AOD中,cos∠AOD=,
∴cos66°==0.40,
解得:x=15,
∴OB=15cm.
【題型】解答題
【結(jié)束】
20
【題目】已知:如圖,在半徑為的中,、是兩條直徑,為的中點(diǎn),的延長(zhǎng)線交于點(diǎn),且,連接。.
(1)求證:;
(2)求的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC是等邊三角形,點(diǎn)D是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合),△ADE是以AD為邊的等邊三角形,過點(diǎn)E作BC的平行線,分別交射線AB、AC于點(diǎn)F、G,連接BE.
(1)如圖(a)所示,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí).
①求證:△AEB≌△ADC;
②探究四邊形BCGE是怎樣特殊的四邊形?并說明理由;
(2)如圖(b)所示,當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí),直接寫出(1)中的兩個(gè)結(jié)論是否成立;
(3)在(2)的情況下,當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形BCGE是菱形?并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將放在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中,點(diǎn),點(diǎn),點(diǎn)均落在格點(diǎn)上.
(1)_________.
(2)請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中,用無刻度的直尺,畫出一個(gè)以為底邊的等腰,使該三角形的面積等于的面積,并簡(jiǎn)要說明點(diǎn)的位置是如何找到的(不要求證明)__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)在邊上,點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn),連接與關(guān)于所在直線對(duì)稱,點(diǎn)分別為的中點(diǎn),連接并延長(zhǎng)交所在直線于點(diǎn),連接.當(dāng)為直角三角形時(shí),的長(zhǎng)為_________ .
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