Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（0，2），B（0，6），動(dòng)點(diǎn)C在直線y＝x上．若以A、B、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（　�。�

A. 6B. 5C. 4D. 3

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AB的垂直平分線與直線y=x的交點(diǎn)為點(diǎn)C1，即可求得C的坐標(biāo)，再求出AB的長，以點(diǎn)A為圓心，以AB的長為半徑畫弧，與直線y=x的交點(diǎn)為C2，C3，過點(diǎn)B作BD⊥直線y=x，垂足為D，則△OBD是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理求出點(diǎn)B到直線y=x的距離為，由＞4，可知以點(diǎn)B為圓心，以AB的長為半徑畫弧，與直線y=x沒有交點(diǎn)，據(jù)此即可求得答案.

如圖，AB的垂直平分線與直線y=x相交于點(diǎn)C1，

∵A(0，2)，B(0，6)，∴AB=6﹣2=4，

以點(diǎn)A為圓心，以AB的長為半徑畫弧，與直線y=x的交點(diǎn)為C2，C3，

過點(diǎn)B作BD⊥直線y=x，垂足為D，則△OBD是等腰直角三角形，

∴BD=OD，

∵OB=6，BD2+OD2=OB2，

∴BD=，

即點(diǎn)B到直線y=x的距離為，

∵＞4，

∴以點(diǎn)B為圓心，以AB的長為半徑畫弧，與直線y=x沒有交點(diǎn)，

綜上所述，點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是1+2=3，

故選D.