【題目】在⊙O中,弦AB、CD相交于點E,連接AC、BC,AC=BC,AB=CD.
(1)如圖1,求證:BE平分∠CBD;
(2)如圖2,F為BC上一點,連接AF交CD于點G,當∠FAB= ∠ACB時,求證:AC=BD+2CF;
(3)如圖3,在(2)的條件下,若S△ACF=S△CBD , ⊙O的半徑為3 ,求線段GD的長.
【答案】
(1)證明:∵AB=CD,
∴ = ,
∴ = ,
∵AC=BC,
∴ = ,
∴ = ,
∴∠ABC=∠ABD,
∴BE平分∠CBD
(2)證明:
如圖2,在線段BF上取點H,使FH=FC,連接AH,AD,
∵AC=BC,∴∠CAB=∠CBA,
∵在△ABC中,∠CAB+∠CBA+∠ACB=180°,
∴∠CBA+ ∠ACB=90°,
∵∠FAB= ∠ACB,
∴∠FAB+∠CBA=90°,
∴∠AFB=90°,
∴AF⊥CH,
∵CF=FH,
∴AC=AH,
∴∠ACB=∠AHC,
∵A、C、B、D四點在⊙O上,
∴∠ACB+∠ADB=180°,
∵∠AHC+∠AHB=180°,
∴∠AHB=∠ADB,
∵∠ABC=∠ABD,AB=AB,
在△AHB與△ADB中,
,
∴△AHB≌△ADB,
∴BD=BH,
∵AC=BC=CF+FH+HB,
∴AC=BD+2CF
(3)解:如圖3,過點C作CK⊥BD于點K,作直徑CM,連接AM,
∵∠CBA=∠CAB=∠ABD,
∴AC∥BD,
∴∠CBK=∠ACB,∠CKB=∠AFC,AC=BC,
在△AFC與△CKB中, ,
∴△AFC≌△CKB,
∴S△AFC=S△CKB=S△CBD,
∴BD=BK=CF,
∵AC=BD+2CF,
∴AC=3CF=3BD,
設BD=CF=k,則AC=BC=3k,BF=2k,
在Rt△ACF中,由勾股定理得:AF=2 k,
在Rt△AFB中,tan∠FBA= ,
∵CM為⊙O的直徑,
∴∠CAM=90°,
∵∠CMA=∠CBA,
在Rt△ACM中,AC=3k,tan∠CMA= ,CM=6 ,
∴AM= k,
由勾股定理得:(3k)2+( )2=(6 )2,
∴k=4,
∴AC=12,CF=4,AF=8 ,
在Rt△ACF中,tan∠CAF= ,tan∠ACD= ,AC=12,
∴CG= ,
在Rt△AFB中,AF=8 ,FB=8,
由勾股定理得:AB=CD=8 ,
∴DG= .
【解析】(1)由AB=CD,得到 = ,由AC=BC,得到 = ,于是得到 = ,根據圓周角定理即可證得結論.(2)根據全等三角形的性質得到∠CAB=∠CBA,根據三角形的內角和得到∠CBA+ ∠ACB=90°推出AF⊥CH,得到∠ACB=∠AHC,根據圓內接四邊形的性質得到∠ACB+∠ADB=180°,等量代換得到∠AHB=∠ADB,根據全等三角形的性質得到BD=BH,即可得到結論;(3)根據已知條件得到AC∥BD,根據平行線的性質得到∠CBK=∠ACB,∠CKB=∠AFC,推出△AFC≌△CKB,于是得到S△AFC=S△CKB=S△CBD , 等量代換得到AC=3CF=3BD,設BD=CF=k,則AC=BC=3k,BF=2k,根據勾股定理得到AF=2 k,由圓周角定理得到∠CAM=90°,解直角三角形得到AM= k,根據勾股定理列方程得到AC=12,CF=4,AF=8 ,解直角三角形即可得到結論.
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【題目】對反比例函數 ,下列說法不正確的是( )
A.它的圖象在第一、三象限
B.點(﹣1,﹣4)在它的圖象上
C.當x<0時,y隨x的增大而減小
D.當x>0時,y隨x的增大而增大
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【題目】拋物線y=(x﹣3)(x+1)與x軸交于A,B兩點(點A在點B左側),與y軸交于點C,點D為頂點.
(1)求點B及點D的坐標.
(2)連結BD,CD,拋物線的對稱軸與x軸交于點E.
①若線段BD上一點P,使∠DCP=∠BDE,求點P的坐標.
②若拋物線上一點M,作MN⊥CD,交直線CD于點N,使∠CMN=∠BDE,求點M的坐標.
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【題目】“珍重生命,注意安全!”同學們在上下學途中一定要注意騎車安全.小明騎單車上學,當他騎了一段時間,想起要買某本書,于是又折回到剛經過的新華書店,買到書后繼續(xù)去學校,以下是他本次所用的時間與路程的關系示意圖.根據圖中提供的信息回答下列問題:
(1)圖中自變量是______,因變量是______;
(2)小明家到學校的路程是 米;
(3)小明在書店停留了 分鐘;
(4)本次上學途中,小明一共行駛了 米,一共用了 分鐘;
(5)我們認為騎單車的速度超過300米/分鐘就超越了安全限度.問:在整個上學的途中哪個時間段小明騎車速度最快,速度在安全限度內嗎?
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【題目】如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,BE、DF分別是∠ABC、∠ADC的平分線,且與對角線AC分別相交于點E、F.
(1)求證:AE=CF;
(2)連結ED、FB,判斷四邊形BEDF是否是平行四邊形,說明理由.
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【題目】小芳同學有兩根長度為4cm、10cm的木棒,她想釘一個三角形相框,桌上有五根木棒供她選擇(如圖所示),從中任選一根,能釘成三角形相框的概率是 .
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【題目】7張如圖1的長為a,寬為b(a>b)的小長方形紙片,按圖2的方式不重疊地放在矩形ABCD內,未被覆蓋的部分(兩個矩形)用陰影表示.設左上角與右下角的陰影部分的面積的差為S,當BC的長度變化時,按照同樣的放置方式,S始終保持不變,則a,b滿足( )
A.a= b
B.a=3b
C.a= b
D.a=4b
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【題目】某商場銷售甲、乙兩種品牌的智能手機,這兩種手機的進價和售價如下表:
甲 | 乙 | |
進價(元/部) | 4000 | 2500 |
售價(元/部) | 4300 | 3000 |
該商場計劃購進兩種手機若干部,共需15.5萬元,預計全部銷售后可獲毛利潤共2.1萬元.
(毛利潤=(售價﹣進價)×銷售量)
(1)該商場計劃購進甲、乙兩種手機各多少部?
(2)通過市場調研,該商場決定在原計劃的基礎上,減少甲種手機的購進數量,增加乙種手機的購進數量.已知乙種手機增加的數量是甲種手機減少的數量的2倍,而且用于購進這兩種手機的總資金不超過16萬元,該商場怎樣進貨,使全部銷售后獲得的毛利潤最大?并求出最大毛利潤.
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【題目】周末,老師帶同學去北京植物園中的一二﹒九運動紀念廣場,這里有三座側面為三角形的紀念亭,挺拔的建筑線條象征青年朝氣蓬勃、積極向上的精神.基于紀念亭的幾何特征,同學們編擬了如下的數學問題:
如圖1,點A,B,C,D在同一條直線上,在四個論斷“EA=ED,EF⊥AD,AB=DC,FB=FC”中選擇三個作為已知條件,另一個作為結論,構成真命題(補充已知和求證),并進行證明.
已知:如圖,點A,B,C,D在同一條直線上, .
求證: .
證明: .
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