Question

【題目】四邊形ABCD是正方形，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O．

（1）如圖1，點(diǎn)P是正方形ABCD外一點(diǎn)，連接OP，以OP為一邊，作正方形OPMN，且邊ON與邊BC相交，連接AP，BN．

①依題意補(bǔ)全圖1；

②判斷AP與BN的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，寫(xiě)出結(jié)論并加以證明；

（2）點(diǎn)P在AB延長(zhǎng)線上，且∠APO=30°，連接OP，以OP為一邊，作正方形OPMN，且邊ON與BC的延長(zhǎng)線恰交于點(diǎn)N，連接CM，若AB=2，求CM的長(zhǎng)（不必寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果，簡(jiǎn)述求CM長(zhǎng)的過(guò)程）

Answer 1

【答案】（1）①圖形見(jiàn)解析②AP=BN，AP⊥BN（2）見(jiàn)解析

【解析】分析：(1)、①根據(jù)題意作出圖形即可；②結(jié)論：AP=BN，AP⊥BN，只要證明△APO≌△BNO即可；(2)、在RT△CMS中，求出SM，SC即可解決問(wèn)題．

詳解：(1)、解：①補(bǔ)全圖形如圖1所示，

②結(jié)論：AP=BN，AP⊥BN．

理由：延長(zhǎng)NB交AP于H，交OP于K． ∵四邊形ABCD是正方形， ∴OA=OB，AO⊥BO，

∴∠1+∠2=90°， ∵四邊形OPMN是正方形， ∴OP=ON，∠PON=90°， ∴∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3， 在△APO和△BNO中，， ∴△APO≌△BNO， ∴AP=BN，∴∠4=∠5，

在△OKN中，∠5+∠6=90°， ∵∠7=∠6， ∴∠4+∠7=90°， ∴∠PHK=90°， ∴AP⊥BN．

(2)、解：解題思路如下：

a．首先證明△APO≌△BNO，AP=BN，∠OPA=ONB．

b．作OT⊥AB于T，MS⊥BC于S，由題意可知AT=TB=1，

c．由∠APO=30°，可得PT= ，BN=AP= +1，可得∠POT=∠MNS=60°．

d．由∠POT=∠MNS=60°，OP=MN，

可證，△OTP≌△NSM， ∴PT=MS= ， ∴CN=BN﹣BC= ﹣1，

∴SC=SN﹣CN=2﹣ ， 在RT△MSC中，CM2=MS2+SC2 ， ∴MC的長(zhǎng)可求．