Question

已知在平面直角坐標系xOy中，A（2，0），B（2，1），P（2，4），點Q是y軸上的一動點，連接PQ，作QR⊥PQ交x軸于點R，當△PQR∽△OAB時，求點R的坐標．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：根據(jù)A、B、P的坐標得出OA=2OB，△AOB是直角三角形，根據(jù)△PQR∽△OAB時，QR⊥PQ且QR=2PQ或PQ=2QR，設Q（0，m），R（n，0），分3種情況①當PQ⊥y軸時，得出PQ₁=2，Q₁R₁=4，Q₁R₁=2PQ₁，符合題意；②當PQ₂⊥Q₂R₂，PQ₂=2Q₂R₂時，可證△PQ₂G∽△Q₂OR₂；根據(jù)

OR

GQ

=

OQ

PG

=

QR

PQ

=

1

2

，得出

|n|

4-|m|

=

|m|

2

=

1

2

，
求出m、n的值即可，③當PQ₄⊥Q₄R₄，Q₄R₄=2PR₄時，可證△PQ₄G∽△Q₄OR₄，根據(jù)

OQ4

PG

=

OR4

GQ4

=

Q4R4

PQ4

=2，得出

-m

2

=

-n

4-m

=2，再求出m、n的值即可．

解答：解：∵A（2，0），B（2，1），P（2，4），
∴OA=2OB，△AOB是直角三角形，
當△PQR∽△OAB時，QR⊥PQ且QR=2PQ或PQ=2QR，
如圖所示，設Q（0，m），R（n，0），
①當PQ⊥y軸時，Q₁（0，4），R₁（0，0）
PQ₁=2，Q₁R₁=4，
則Q₁R₁=2PQ₁，符合題意；
②當PQ₂⊥Q₂R₂，PQ₂=2Q₂R₂時，可證△PQ₂G∽△Q₂OR₂；
PG=2，OR=|n|，OQ=|m|，GQ=OG-OQ=4-|m|，
則

OR

GQ

=

OQ

PG

=

QR

PQ

=

1

2

，
即

|n|

4-|m|

=

|m|

2

=

1

2

，
解得：

m1=1 n1= 3 2

，

m2=-1 n2=- 5 2

，
∴Q₂（0，1），R₂（

3

2

，0），Q₃（0，-1），R₃（-

5

2

，0）；
③當PQ₄⊥Q₄R₄，Q₄R₄=2PR₄時，可證△PQ₄G∽△Q₄OR₄，
PG=2，OR₄=-n，OQ₄=-m，GQ₄=4-m，
則

OQ4

PG

=

OR4

GQ4

=

Q4R4

PQ4

=2，
即

-m

2

=

-n

4-m

=2，
解得；m=-4，n=-16，
∴Q₄（0，-4），R₄（-16，0）；
綜上所述，當△PQR∽△OAB時，點R的坐標為：R₁（0，0），R₂（

3

2

，0），R₃（-

5

2

，0），R₄（-16，0）．

點評：此題考查了相似形綜合，用到的知識點是相似三角形的判定與性質、解方程組、點的坐標等，關鍵是根據(jù)題意畫出圖形，注意分三種情況討論．