Question

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（2，0），B（2，1），P（2，4），點(diǎn)Q是y軸上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PQ，作QR⊥PQ交x軸于點(diǎn)R，當(dāng)△PQR∽△OAB時(shí)，求點(diǎn)R的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專(zhuān)題：

分析：根據(jù)A、B、P的坐標(biāo)得出OA=2OB，△AOB是直角三角形，根據(jù)△PQR∽△OAB時(shí)，QR⊥PQ且QR=2PQ或PQ=2QR，設(shè)Q（0，m），R（n，0），分3種情況①當(dāng)PQ⊥y軸時(shí)，得出PQ₁=2，Q₁R₁=4，Q₁R₁=2PQ₁，符合題意；②當(dāng)PQ₂⊥Q₂R₂，PQ₂=2Q₂R₂時(shí)，可證△PQ₂G∽△Q₂OR₂；根據(jù)

OR

GQ

=

OQ

PG

=

QR

PQ

=

1

2

，得出

|n|

4-|m|

=

|m|

2

=

1

2

，
求出m、n的值即可，③當(dāng)PQ₄⊥Q₄R₄，Q₄R₄=2PR₄時(shí)，可證△PQ₄G∽△Q₄OR₄，根據(jù)

OQ4

PG

=

OR4

GQ4

=

Q4R4

PQ4

=2，得出

-m

2

=

-n

4-m

=2，再求出m、n的值即可．

解答：解：∵A（2，0），B（2，1），P（2，4），
∴OA=2OB，△AOB是直角三角形，
當(dāng)△PQR∽△OAB時(shí)，QR⊥PQ且QR=2PQ或PQ=2QR，
如圖所示，設(shè)Q（0，m），R（n，0），
①當(dāng)PQ⊥y軸時(shí)，Q₁（0，4），R₁（0，0）
PQ₁=2，Q₁R₁=4，
則Q₁R₁=2PQ₁，符合題意；
②當(dāng)PQ₂⊥Q₂R₂，PQ₂=2Q₂R₂時(shí)，可證△PQ₂G∽△Q₂OR₂；
PG=2，OR=|n|，OQ=|m|，GQ=OG-OQ=4-|m|，
則

OR

GQ

=

OQ

PG

=

QR

PQ

=

1

2

，
即

|n|

4-|m|

=

|m|

2

=

1

2

，
解得：

m1=1 n1= 3 2

，

m2=-1 n2=- 5 2

，
∴Q₂（0，1），R₂（

3

2

，0），Q₃（0，-1），R₃（-

5

2

，0）；
③當(dāng)PQ₄⊥Q₄R₄，Q₄R₄=2PR₄時(shí)，可證△PQ₄G∽△Q₄OR₄，
PG=2，OR₄=-n，OQ₄=-m，GQ₄=4-m，
則

OQ4

PG

=

OR4

GQ4

=

Q4R4

PQ4

=2，
即

-m

2

=

-n

4-m

=2，
解得；m=-4，n=-16，
∴Q₄（0，-4），R₄（-16，0）；
綜上所述，當(dāng)△PQR∽△OAB時(shí)，點(diǎn)R的坐標(biāo)為：R₁（0，0），R₂（

3

2

，0），R₃（-

5

2

，0），R₄（-16，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似形綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的判定與性質(zhì)、解方程組、點(diǎn)的坐標(biāo)等，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出圖形，注意分三種情況討論．