Question

【題目】如圖1，已知在長(zhǎng)方形ABCD中， AD=8， AB=4，將長(zhǎng)方形ABCD沿著對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C落在 處， 交AD于點(diǎn)E.

（1）求證：△BED是等腰三角形．
（2）求DE的長(zhǎng)．
（3）如圖2，若點(diǎn)P是BD上一動(dòng)點(diǎn)， 于點(diǎn)N， 于點(diǎn)M，問(wèn)： PN+PM的長(zhǎng)是否為定值？如果是，請(qǐng)求出該值，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：由翻折知，∠1=∠2 ，

∵AD∥BC，

∴∠3=∠2 ，

∴∠1=∠3，

∴BE=DE，

即△BED是等腰三角形

（2）解：設(shè)DE=x,則AE=8-x，BE=x,

在Rt△ABE中，

解之， x=5, ∴ DE=5

（3）解：PM+PN為定值，是4 ,

延長(zhǎng)MP，交BC于點(diǎn)H,

∵AD∥BC，PM ,

∴PH⊥BC,

∵∠1=∠2， PN ,PH⊥BC,

∴PN=PH ,

∴ PM+PN=MN=AB=4

【解析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到∠1=∠2 ，由AD∥BC，得到內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠3=∠2 ，即∠1=∠3，根據(jù)等角對(duì)等邊得到BE=DE， 即△BED是等腰三角形；（2）在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理求出DE的長(zhǎng)；（3）根據(jù)題意作出輔助線，得到PH⊥BC，再由∠1=∠2，得到PN=PH ，得到PM+PN=MN=AB的值.