【題目】△ABC中,∠C=90°,點D在邊AB上,AD=AC=7,BD=BC.動點M從點C出發(fā),以每秒1個單位的速度沿CA向點A運動,同時,動點N從點D出發(fā),以每秒2個單位的速度沿DA向點A運動.當(dāng)一個點到達點A時,點M、N兩點同時停止運動.設(shè)M、N運動的時間為t秒.
(1)求cosA的值.
(2)當(dāng)以MN為直徑的圓與△ABC一邊相切時,求t的值.
【答案】(1);(2)t=1或t=2.
【解析】
試題(1)設(shè)BC=4m,AC=x,用m表示出AC和AB,根據(jù)三角函數(shù)定義即可求解.
(2)分⊙O與AB相切,⊙O與AC相切和⊙O與BC相切三種情況討論即可.
(1)設(shè)BC=4m,AC=x,則BD=2m,AD=x,
∵,∴ 16+=. 解之得 x=3m.
從而AB=5m.
因此cosA=.
(2)CM=t,AM=7-t,DN=2t,AN=7-2t,其中0≤t≤3.5,
記以MN為直徑的圓為⊙O,當(dāng)⊙O與AB相切時,則MN⊥AB,
因此,t=2,符合題意;
當(dāng)⊙O與AC相切時,則MN⊥AC,因此,t=-14,舍去;
當(dāng)⊙O與BC相切時,如圖,作NE⊥BC,垂足為E.取EC的中點F,連結(jié)OF,則OF⊥BC,即點F為⊙O與BC相切的切點.連結(jié)MF,NF,則FM⊥FN,因此△FCM∽△NEF.
因此CM·EN=.
而CM=t,EN=,EF=FC=EC=,
因此,整理得,解之得 t=1,t=-14(舍去) .
綜上所得,當(dāng)以MN為直徑的圓與△ABC一邊相切時,t=1或t=2.
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【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A(﹣1,0)和點B(3,0),與y軸交于點C,連接BC交拋物線的對稱軸于點E,D是拋物線的頂點.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)直接寫出點C和點D的坐標;
(3)若點P在第一象限內(nèi)的拋物線上,且S△ABP=4S△COE,求P點坐標.注:二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點坐標為.
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【題目】如圖,正方形ABCD中,以BC為邊向正方形內(nèi)部作等邊△BCE,連接AE并延長交CD于F,連接DE,下列結(jié)論:①AE=DE;②∠CEF=45°;③AE=EF;④△DEF∽△ABE,其中正確的結(jié)論共有( 。
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn),一般情況下,一節(jié)課40分鐘中,學(xué)生的注意力隨教師講課的變化而變化,開始上課時,學(xué)生的注意力逐步增強,中間有一段時間學(xué)生的注意力保持較為理想的穩(wěn)定狀態(tài),隨后學(xué)生的注意力開始分散.經(jīng)過實驗分析可知,學(xué)生的注意力指標數(shù)y隨時間x(分鐘)的變化規(guī)律如圖所示(其中AB、BC分別為線段,CD為雙曲線的一部分):
(1)開始上課后第五分鐘時與第三十分鐘時相比較,何時學(xué)生的注意力更集中?
(2)一道數(shù)學(xué)競賽題,需要講16分鐘,為了效果較好,要求學(xué)生的注意力指標數(shù)最低達到36,那么經(jīng)過適當(dāng)安排,老師能否在學(xué)生注意力達到所需的狀態(tài)下講解完這道題目?
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【題目】如圖,在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中,點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上,AB、CD相交于點O,則tan∠AOD=________.
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【題目】在某飛機場東西方向的地面l上有一長為1 km的飛機跑道MN(如圖),在跑道MN的正西端14.5千米處有一觀察站A.某時刻測得一架勻速直線降落的飛機位于點A的北偏西30°,且與點A相距15千米的B處;經(jīng)過1分鐘,又測得該飛機位于點A的北偏東60°,且與點A相距5千米的C處.
(1)該飛機航行的速度是多少千米/小時?(結(jié)果保留根號)
(2)如果該飛機不改變航向繼續(xù)航行,那么飛機能否降落在跑道MN之間?請說明理由.
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【題目】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,cos∠B=,將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AB'C,P為線段AB上的動點,以點P為圓心,PA長為半徑作⊙P,當(dāng)⊙P與△A′B′C的一邊所在的直線相切時,⊙P的半徑為_____.
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【題目】關(guān)于三角函數(shù)有如下公式:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α﹣β)=sinαcosβ﹣cosαsinβ;cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ,cos(α﹣β)=cosαcosβ+sinαsinβ;tan(α+β)=(1﹣tanαtanβ≠0),合理利用這些公式可以將一些角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來求值,如sin90°=sin(30°+60°)=sin30°cos60°+cos30°sin60°==1,利用上述公式計算下列三角函數(shù)①sin105°=,②tan105°=﹣2﹣,③sin15°=,④cos90°=0,其中正確的個數(shù)有( 。
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】如圖,已知正比例函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)y=(k>0)的圖象交于A、B兩點,且點A的橫坐標為4.
(1)求k的值.
(2)根據(jù)圖象直接寫出正比例函數(shù)值小于反比例函數(shù)值時x的取值范圍.
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