【題目】對給定的一張矩形紙片ABCD進行如下操作:先沿CE折疊,使點B落在CD邊上(如圖①),再沿CH折疊,這時發(fā)現(xiàn)點E恰好與點D重合(如圖②

(1)根據(jù)以上操作和發(fā)現(xiàn),求的值;

(2)將該矩形紙片展開.

①如圖③,折疊該矩形紙片,使點C與點H重合,折痕與AB相交于點P,再將該矩形紙片展開.求證:∠HPC=90°;

②不借助工具,利用圖④探索一種新的折疊方法,找出與圖③中位置相同的P點,要求只有一條折痕,且點P在折痕上,請簡要說明折疊方法.(不需說明理由)

【答案】(1);(2)①證明見解析;②見解析.

【解析】(1)依據(jù)△BCE是等腰直角三角形,即可得到CE=BC,由圖②,可得CE=CD,而AD=BC,即可得到CD=AD,即=

(2)①由翻折可得,PH=PC,即PH2=PC2,依據(jù)勾股定理可得AH2+AP2=BP2+BC2,進而得出AP=BC,再根據(jù)PH=CP,∠A=∠B=90°,即可得到Rt△APH≌Rt△BCP(HL),進而得到∠CPH=90°;

②由AP=BC=AD,可得△ADP是等腰直角三角形,PD平分∠ADC,故沿著過D的直線翻折,使點A落在CD邊上,此時折痕與AB的交點即為P;由∠BCE=∠PCH=45°,可得∠BCP=∠ECH,由∠DCE=∠PCH=45°,可得∠PCE=∠DCH,進而得到CP平分∠BCE,故沿著過點C的直線折疊,使點B落在CE上,此時,折痕與AB的交點即為P.

(1)由圖①,可得∠BCE=∠BCD=45°,

又∵∠B=90°,

∴△BCE是等腰直角三角形,

,即CE=BC,

由圖②,可得CE=CD,而AD=BC,

∴CD=AD,

=;

(2)①設(shè)AD=BC=a,則AB=CD=a,BE=a,

∴AE=(﹣1)a,

如圖③,連接EH,則∠CEH=∠CDH=90°,

∵∠BEC=45°,∠A=90°,

∴∠AEH=45°=∠AHE,

∴AH=AE=(﹣1)a,

設(shè)AP=x,則BP=a﹣x,由翻折可得,PH=PC,即PH2=PC2

∴AH2+AP2=BP2+BC2,

即[(﹣1)a]2+x2=(a﹣x)2+a2,

解得x=a,即AP=BC,

又∵PH=CP,∠A=∠B=90°,

∴Rt△APH≌Rt△BCP(HL),

∴∠APH=∠BCP,

又∵Rt△BCP中,∠BCP+∠BPC=90°,

∴∠APH+∠BPC=90°,

∴∠CPH=90°;

②折法:如圖,由AP=BC=AD,可得△ADP是等腰直角三角形,PD平分∠ADC,

故沿著過D的直線翻折,使點A落在CD邊上,此時折痕與AB的交點即為P;

折法:如圖,由∠BCE=∠PCH=45°,可得∠BCP=∠ECH,

由∠DCE=∠PCH=45°,可得∠PCE=∠DCH,

又∵∠DCH=∠ECH,

∴∠BCP=∠PCE,即CP平分∠BCE,

故沿著過點C的直線折疊,使點B落在CE上,此時,折痕與AB的交點即為P.

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