Question

【題目】已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4cm，點(diǎn)P，Q分別是直線AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P從頂點(diǎn)A沿AB向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q同時(shí)從頂點(diǎn)B沿BC向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，它們的速度都為lcm/s，到達(dá)終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，連接AQ，PQ．

①當(dāng)t＝2時(shí)，求∠AQP的度數(shù)．

②當(dāng)t為何值時(shí)△PBQ是直角三角形？

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，Q在BC上，若PQ＝PC，請(qǐng)判斷AP，CQ和AC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①∠AQP＝30°；②當(dāng)t＝秒或t＝秒時(shí)，△PBQ為直角三角形；（2）AC＝AP+CQ，理由見解析.

【解析】

（1）①由△ABC是等邊三角形知AQ⊥BC，∠B＝60°，從而得∠AQB＝90°，△BPQ是等邊三角形，據(jù)此知∠BQP＝60°，繼而得出答案；

②由題意知AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t，再分∠PQB＝90°和∠BPQ＝90°兩種情況分別求解可得．

（2）過點(diǎn)Q作QF∥AC，交AB于F，知△BQF是等邊三角形，證∠QFP＝∠PAC＝120°、∠BPQ＝∠ACP，從而利用AAS可證△PQF≌△CPA，得AP＝QF，據(jù)此知AP＝BQ，根據(jù)BQ+CQ＝BC＝AC可得答案．

解:（1）①根據(jù)題意得AP＝PB＝BQ＝CQ＝2，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AQ⊥BC，∠B＝60°，

∴∠AQB＝90°，△BPQ是等邊三角形，

∴∠BQP＝60°，

∴∠AQP＝∠AQB﹣∠BQP＝90°﹣60°＝30°；

②由題意知AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t，

當(dāng)∠PQB＝90°時(shí)，

∵∠B＝60°，

∴PB＝2BQ，得：4﹣t＝2t，解得t＝；

當(dāng)∠BPQ＝90°時(shí)，

∵∠B＝60°，

∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），解得t＝；

∴當(dāng)t＝秒或t＝秒時(shí)，△PBQ為直角三角形；

（2）AC＝AP+CQ，理由如下：

如圖所示，過點(diǎn)Q作QF∥AC，交AB于F，

則△BQF是等邊三角形，

∴BQ＝QF，∠BQF＝∠BFQ＝60°，

∵△ABC為等邊三角形，

∴BC＝AC，∠BAC＝∠BFQ＝60°，

∴∠QFP＝∠PAC＝120°，

∵PQ＝PC，

∴∠QCP＝∠PQC，

∵∠QCP＝∠B+∠BPQ，∠PQC＝∠ACB+∠ACP，∠B＝∠ACB，

∴∠BPQ＝∠ACP，

在△PQF和△CPA中，

∵

∴△PQF≌△CPA（AAS），

∴AP＝QF，

∴AP＝BQ，

∴BQ+CQ＝BC＝AC，

∴AP+CQ＝AC．