Question

11．在平面直角坐標系xOy中，直線AB交x軸于A（4，0），y軸于B（0，4），點D（-3，0）在x軸上．
（1）如圖1，過A作BD垂線交y軸于點C，垂足為點H，求線段BC的長．
（2）如圖2，動點E從點A出發(fā)以每秒1個單位的速度沿線段AO向終點O運動，同時動點F從點B出發(fā)乙每秒1個單位的速度沿線段OB的延長線運動，點E運動停止是點F也隨之停止，連接EF交AB于點G，以EF為斜邊作等腰直角三角形EFM，點M在第一象限內(nèi)，如果運動時間為t秒，設(shè)△MBF的面積為S，求S與t之間的關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍．
（3）在（2）的條件下，連接MG并延長交DC于N，連接NF，當∠MEA與∠NFO互余時，求點N的坐標并直接寫出t的值．

Answer 1

分析 （1）利用點的坐標，求出相應(yīng)線段相等，證明△BDO≌△ACO，求出線段OC，即可以求出線段BC的長；
（2）構(gòu)造全等三角形，求出邊BM，利用三角形面積公式，及BF=t，即可求出三角形MBF的面積；
（3）易證△BFG≌△QEG，通過全等三角形性質(zhì)，及角度的等量代換，求證△PFN≌△BMF，進而求出∠NOP=45°，求出點N的坐標及t值．

解答 解：（1）由題意得，OD=3，OA=OB=4，
由勾股定理得，BD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{B}^{2}}$=5，
∵AH⊥BD，∠BOD=90°，
∴∠DBO=∠CAO，
在△BDO和△ACO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBO=∠CAO}\\{OB=OA}\\{∠BOD=∠AOC}\end{array}\right.$，
∴△BDO≌△ACO（AAS），
∴OC=OD=3，
∴BC=OB-OC=1．
∴線段BC的長為1．

（2）如下圖，

由題意知：∠EMF=90°，MF=ME，
∵∠O=90°，
∴∠O+∠EMF=180°，
∴四邊形OEMF對角互補，
∴∠3=∠4，
∵BF=AE=t，
∴△BFM≌△AEM（SAS），
∴BM=AM，∠1=∠2，
∵∠5+∠1=90°，
∴∠5+∠2=90°，
∴△ABM為等腰直角三角形，
∴四邊形AOBM為正方形，
∴BM⊥BF，BM=OB=4，
∴△MBF的面積S=$\frac{1}{2}$BM×BF=2t，（0≤t≤4）．

（3）作EO⊥OA交AB于Q，如下圖：

則有：EQ∥BF，且EQ=EA=BF=t，
得：△BFG≌△QEG（AAS），
∴FG=EG，
∵FM=EM，∠FME=90°，
∴MG⊥EF，
∴∠1+∠5=90°，
由（2）知∠3=∠4，
當∠NFO+∠MEA=90°，即∠α+∠4=90°時，
∴∠α+∠3=90°，
∵∠1+∠5=90°，
∴∠MNF=∠1+∠5=45°，
∴FN=FM，
作NP⊥OB，
則△PFN≌△BMF（AAS），
∴PN=PF，PF=BM=OB，
∴BF=OP=PN，
連接ON，
則∠β=45°，
∵OC=OD=3，
∴OP=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{3}{2}$，
∴N（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），t的值為$\frac{3}{2}$．

點評 題目考查了全等三角形判定和性質(zhì)，通過對全等三角形的構(gòu)造，解決線段及角度問題．本題難度較大，對培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題及解決問題有很大的幫助．