Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）．圖象的頂點為D，其圖象與x軸的交點A、B的橫坐標分別為-1、3，與y軸負半軸交于點C．下面五個結論：①2a+b=0；②a+b+c＞0；③當x≤1時，y隨x值的增大而增大；④當-1≤x≤3時，ax²+bx+c＜0；⑤只有當a=

1

2

 時，△ABD是等腰直角三角形．那么，其中正確的結論是

 

．（只填你認為正確結論的序號）

Answer 1

考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系,二次函數(shù)的性質(zhì),拋物線與x軸的交點

專題：數(shù)形結合

分析：根據(jù)拋物線的對稱性可得到拋物線的對稱軸為直線x=1，根據(jù)拋物線的對稱軸為直線x=-

b

2a

=1可判斷①正確；根據(jù)圖象得x=1對應的函數(shù)值為負數(shù)，可判斷以②錯誤；
根據(jù)拋物線當a＞0，在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減小可判斷以③錯誤；利用x=-1或x=3時，ax²+bx+c=0，可判斷④錯誤；

解答：解：∵二次函數(shù)的圖象與x軸的交點A、B的橫坐標分別為-1、3，
∴AB中點坐標為（1，0），而點A與點B是拋物線上的對稱點，
∴拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴x=-

b

2a

=1，即2a+b=0，所以①正確；
∵當x=1時，對應的函數(shù)圖象在x軸下方，
∴a+b+c＜0，所以②錯誤；
∵a＞0，
∴當x≤1時，y隨x值的增大而減，所以③錯誤；
由于當-1＜x＜3時，ax²+bx+c＜0，而x=-1或x=3時，ax²+bx+c=0，所以④錯誤；
設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）=ax²-2ax-3a，對稱軸x=1交x軸與E點，如圖，
當△ABD是等腰直角三角形，則DE=

1

2

AB，即|

4a•(-3a)-4a2

4a

|=

1

2

×4，
∴a=

1

2

，所以⑤正確．
故答案為①⑤．

點評：本題考查了二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與系數(shù)的關系：a＞0，開口向上，在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減��；對稱軸為直線x=-

b

2a

；拋物線的頂點坐標為（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）；b²-4ac＞0，拋物線與x軸有兩個交點．也考查了拋物線的交點式以及等腰直角三角形的性質(zhì)．