Question

2．如圖，等腰△ABC中，AB=AC．
（1）操作（保留作圖痕跡，不寫作法）；
①以CA為直徑作⊙O，交AB于M，交BC于N．
②過C點(diǎn)作⊙O的切線交AB的延長線于點(diǎn)P；
（2）在（1）中要求所作的圖中，若BC=10，AC=13，求PC•AM的值．

Answer 1

分析 （1）作AC的垂直平分線得到AC的中點(diǎn)O，再以O(shè)點(diǎn)為圓心，OA為半徑作圓交AB于M，交BC于N；然后過點(diǎn)C作PC⊥AC于C，交AB的延長線于點(diǎn)P，則PC為切線；
（2）連結(jié)AN、CM，如圖，根據(jù)圓周角定理得到∠AMC=∠ANC=90°，則利用等腰三角形的性質(zhì)得NB=NC=$\frac{1}{2}$BC=5，利用勾股定理可計(jì)算出AN=12，再利用面積法計(jì)算出CM=$\frac{120}{13}$，接著根據(jù)切線的性質(zhì)得∠ACP=90°，然后證明Rt△AMC∽Rt△ACP后利用相似比可計(jì)算出PC•AM的值．

解答 解：（1）如圖⊙O和切線PC為所作；

（2）連結(jié)AN、CM，如圖，
∵CA為直徑，
∴∠AMC=∠ANC=90°，
∵AB=AC，
∴NB=NC=$\frac{1}{2}$BC=5，
在Rt△ACN中，AN=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
∵$\frac{1}{2}$CM•AB=$\frac{1}{2}$•AN•BC，
∴CM=$\frac{12×10}{13}$=$\frac{120}{13}$，
∵PC為切線，
∴AC⊥PC，
∴∠ACP=90°，
∵∠MAC=∠CAP，
∴Rt△AMC∽Rt△ACP，
∴CM：PC=AM：AC，即$\frac{120}{13}$：PC=AM：13，
∴PC•AM=$\frac{120}{13}$×13=120．

點(diǎn)評 本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．解決（2）小題的關(guān)鍵是證明Rt△AMC∽Rt△ACP后利用相似比求PC•AM的值．