Question

已知：在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y=mx²+2mx-4（m≠0）的圖象與x軸交于點A、B（點A在點B的左側），與y軸交于點C，△ABC的面積為12．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）點D的坐標為（-2，1），點P在二次函數(shù)的圖象上，∠ADP為銳角，且tan∠ADP=2，請直接寫出點P的橫坐標；
（3）點E在x軸的正半軸上，∠OCE＞45°，點O與點O′關于EC所在直線對稱，過點O作O′E的垂線，垂足為點N，ON與EC交于點M．若EM•EC=48，求點E的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)對稱軸坐標公式可求二次函數(shù)圖象的對稱軸；當x=0時，y=-4，可求點C的坐標為（0，-4），根據(jù)三角形面積公式可求AB=6．進一步得到A點和B點的坐標分別為（-4，0），（2，0）．待定系數(shù)法可求二次函數(shù)的解析式；
（2）作DF⊥x軸于點F．分兩種情況：（ⅰ）當點P在直線AD的下方時；（ⅱ）當點P在直線AD的上方時，延長P₁A至點G使得AG=AP₁，連接DG，作GH⊥x軸于點H，兩種情況討論可求點P₁的坐標；
（3）連接OO′，交CE于T．連接CO′．根據(jù)三角函數(shù)的整數(shù)可得OE²=ET•EC=48+TM•EC．同理OC²=CT•EC=TM•EC=16．得到OE=8，從而得到點E的坐標．

解答：解：（1）由題意可得：該二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=-1；
∵當x=0時，y=-4，
∴點C的坐標為（0，-4），
∵S_△ABC=

1

2

AB•|y_C|=12，
∴AB=6．
又∵點A，B關于直線x=-1對稱，
∴A點和B點的坐標分別為（-4，0），（2，0）．
∴4m+4m-4=0，解得m=

1

2

．
∴所求二次函數(shù)的解析式為y=

1

2

x²+x-4．

（2）如圖，作DF⊥x軸于點F．分兩種情況：
（ⅰ）當點P在直線AD的下方時，如圖所示．
由（1）得點A（-4，0），點D（-2，1），
∴DF=1，AF=2．
在Rt△ADF中，∠AFD=90°，得tan∠ADF=

AF

DF

=2．
延長DF與拋物線交于點P₁，則P₁點為所求．
∴點P₁的坐標為（-2，-4）．
（ⅱ）當點P在直線AD的上方時，延長P₁A至點G使得AG=AP₁，連接DG，作GH⊥x軸于點H，如圖所示．
可證△GHA≌△P₁FA．
∴HA=AF，GH=P₁F，GA=P₁A．
又∵A（-4，0），P₁（-2，-4），
∴點G的坐標是（-6，4）．
在△ADP₁中，
DA=

5

，DP₁=5，
AP₁=2

5

，
∴DA²+AP₁²=DP₁²
∴∠DAP₁=90°．
∴DA⊥GP₁．
∴DG=DP₁．
∴∠ADG=∠ADP₁．
∴tan∠ADG=tan∠ADP₁=2．
設DG與拋物線的交點為P₂，則P₂點為所求．
作DK⊥GH于點K，作P₂S∥GK交DK于點S．
設P₂點的坐標為（x，

1

2

x²+x-4），
則P₂S=

1

2

x²+x-4-1=

1

2

x²+x-5，DS=-2-x．
由

P2S

GK

=

DS

DK

，GK=3，DK=4，得

1 2 x2+x-5

3

=

-2-x

4

．
整理，得2x²+7x-14=0．
解得x=

-7± 161

4

．
∵P₂點在第二象限，
∴P₂點的橫坐標為x=

-7- 161

4

（舍正）．
綜上，P點的橫坐標為-2或

-7- 161

4

．

（3）如圖，連接OO′，交CE于T．連接CO′．
∵點O與點CO′關于EC所在直線對稱，
∴OO′⊥CE，∠OCE=∠O′CE，∠CO′E=∠COE=90°，
O′C⊥O′E．
∵ON⊥O′E，
∴O′C∥ON．
∴∠OMC=∠O′CE=∠OCE．
∴OC=OM．
∴CT=MT．
∵在Rt△ETO中，∠ETO=90°，cos∠OEC=

ET

OE

，
在Rt△COE中，∠COE=90°，cos∠OEC=

OE

EC

，
∴

OE

EC

=

ET

OE

．
∴OE²=ET•EC
=（EM+TM）•EC
=EM•EC+TM•EC
=48+TM•EC．
同理OC²=CT•EC=TM•EC=16．
∴OE²=48+16=64．
∵OE＞0，
∴OE=8．
∵點E在x軸的正半軸上，
∴E點的坐標為（8，0）．

點評：此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點有：對稱軸坐標公式，坐標軸上點的坐標特征，三角形面積公式，待定系數(shù)法可求二次函數(shù)的解析式，分類思想，三角函數(shù)．綜合性較強，有一定的難度．