Question

1．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點，連結(jié)BE、DF，點P在DF上，且BP=BC，連接EP并延長交BC的延長線于點Q．
（1）△ABE≌△CDF；
（2）求∠BPE的度數(shù)；
（3）若BC=n•CQ．試求n的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩邊夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等即可證明．
（2）連接EF作PM⊥EB于M，F(xiàn)N⊥EB于N，連接AM，先證明△PMB≌△FNE，再證明△EBP≌△EBA，即可解決問題．
（3）連接AM，先證明A、M、P共線，設(shè)AB=2a，則DE=AE=CF=BF=a，DF=BE=$\sqrt{5}$a，由△APD∽△BAE，得$\frac{AP}{BA}$=$\frac{PD}{AE}$=$\frac{AD}{BE}$，求出PD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a，PF=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$a，由ED∥FQ，得到$\frac{ED}{FQ}$=$\frac{DP}{PF}$=$\frac{2}{3}$，求出FQ．CQ即可解決問題．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠DCF=90°，
∵DE=AE，CF=FB，
∴AE=CF，
在△ABE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠BAE=∠DCF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF．
（2）連接EF作PM⊥EB于M，F(xiàn)N⊥EB于N，
∵DE∥BF，DE=BF，
∴四邊形DEBF是平行四邊形，
∴PM=FN，
∵DE=CF，DE∥CF，
∴四邊形DEFC是平行四邊形，
∴EF=CD=BC=PB，
在RT△PMB和RT△FNE中，
$\left\{\begin{array}{l}{PB=EF}\\{PM=FN}\end{array}\right.$，
∴△PMB≌△FNE，
∴∠FEN=∠PBM=∠EBA，
在△EBP和△EBA中，
$\left\{\begin{array}{l}{EB=EB}\\{∠EBP=∠EBA}\\{BA=BP}\end{array}\right.$，
∴△EBP≌△EBA，
∴EP=EA，∠BPE=∠BAE=90°，
（3）連接AM．∵BP=BA，EP=EA，
∴EB垂直平分AP，
∴A、M、P共線，設(shè)AB=2a，則DE=AE=CF=BF=a，DF=BE=$\sqrt{5}$a，
∵DF∥EB，AP⊥EB，
∴AP⊥DF，
∵∠APD=∠BAE=90°，∠DAP=∠ABE，
∴△APD∽△BAE，
∴$\frac{AP}{BA}$=$\frac{PD}{AE}$=$\frac{AD}{BE}$，
∴PD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a，PF=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$a，
∵ED∥FQ，
∴$\frac{ED}{FQ}$=$\frac{DP}{PF}$=$\frac{2}{3}$，
∴FQ=$\frac{3}{2}$a，
∴CQ=$\frac{1}{2}$a，∵BC=n•CQ，
∴2a=n•$\frac{1}{2}$a，
∴n=4．

點評 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，屬于中考�？碱}型．