【題目】已知如圖,矩形OABC放置于平面直角坐標系中,點O與原點重合,點Ax軸正半軸上,點Cy軸正半軸上,點B的坐標為(6,3),點D是邊BC上的一動點,連接OD,作點C關于直線OD的對稱點C′.

(1)若點C、C′、A在一直線上時,求點D的坐標;

(2)若點C′到矩形兩對邊所在直線距離之比為1:2時,求點C′的坐標;

(3)若連接BC′,則線段BC′的長度范圍是   

【答案】(1)D(,3);(2)點C′的坐標為(,2)或(2,1);(3)3﹣3≤BC′≤6.

【解析】試題分析:(1)根據(jù)軸對稱的性質和矩形的性質易證∠DCE=∠COD,再求得CD的長,即可得點D的坐標;(2)分點C′到矩形OA邊與BC邊的距離之比為1:2和點C′到矩形BC邊與OA邊的距離之比為2:1兩種情況求點C′的坐標即可;(3)OC′=OC,可知點C′在以O為圓心,以3為半徑的弧上(如圖).當點D與點C或點B重合時,BC′有最大值當點C′在直線OB上時,BC′有最小值.由此即可求得BC的取值范圍.

試題解析:

(1)如下圖所示:

C、C′、A在一直線上,

∴tanBCC′==

C與點C′關于OD對稱,

∴OD⊥CC′.

∴∠DCE+∠CDE=90°.

∵∠CDE+∠COD=90°.

∴∠DCE=∠COD.

∴tan∠COD==,

∴CD=OC=

∴D(,3).

(2)設點C′的坐標為(x,y).

由軸對稱的性質可知OC=OC′=3.

由兩點間的距離公式可知x2+y2=9.

C′到矩形兩對邊所在直線距離之比為1:2時,

C′的縱坐標為21.

y=2代入x2+y2=9得:x2+4=9,解得:x=x=﹣(舍去),

∴C′(,2).

y=1代入x2+y2=9得:x2+1=9,解得:x=2x=﹣2(舍去),

∴C′(2,1).

綜上所述,點C′的坐標為(,2)或(2,1).

(3)∵OC′=OC,

C′在以O為圓心,以3為半徑的弧上.

如下圖所示:

當點D與點C或點B重合時,BC′有最大值,最大值=BD=6.

當點C′在直線OB上時,BC′有最小值.

△ABO中,依據(jù)勾股定理可知OB==3

∵OC′=OC=3,

∴BC′的最小值=BO﹣OC′=3﹣3.

線段BC′的長度范圍是3﹣3≤BC′≤6.

故答案為:3﹣3≤BC′≤6.

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