【題目】已知拋物線y=a(x+3)(x﹣1)(a≠0),與x軸從左至右依次相交于A、B兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C,經(jīng)過點(diǎn)A的直線y=﹣x+b與拋物線的另一個交點(diǎn)為D.
(1)若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2,求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)若在第三象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn)P,使得以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在(1)的條件下,設(shè)點(diǎn)E是線段AD上的一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),連接BE.一動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),沿線段BE以每秒1個單位的速度運(yùn)動到點(diǎn)E,再沿線段ED以每秒個單位的速度運(yùn)動到點(diǎn)D后停止,問當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時,點(diǎn)Q在整個運(yùn)動過程中所用時間最少?
【答案】(1) y=﹣x2﹣2x+3;(2) P的坐標(biāo)為(﹣4,﹣)和(﹣6,﹣);(3) (1,﹣4).
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)二次函數(shù)的交點(diǎn)式確定點(diǎn)A、B的坐標(biāo),求出直線的解析式,求出點(diǎn)D的坐標(biāo),求出拋物線的解析式;(2)作PH⊥x軸于H,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,n),分△BPA∽△ABC和△PBA∽△ABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可;(3)作DM∥x軸交拋物線于M,作DN⊥x軸于N,作EF⊥DM于F,根據(jù)正切的定義求出Q的運(yùn)動時間t=BE+EF時,t最小即可.
試題解析:(1)∵y=a(x+3)(x﹣1),
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣3,0)、點(diǎn)B兩的坐標(biāo)為(1,0),
∵直線y=﹣x+b經(jīng)過點(diǎn)A,
∴b=﹣3,
∴y=﹣x﹣3,
當(dāng)x=2時,y=﹣5,
則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,﹣5),
∵點(diǎn)D在拋物線上,
∴a(2+3)(2﹣1)=﹣5,
解得,a=﹣,
則拋物線的解析式為y=﹣(x+3)(x﹣1)=﹣x2﹣2x+3;
(2)作PH⊥x軸于H,
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,n),
當(dāng)△BPA∽△ABC時,∠BAC=∠PBA,
∴tan∠BAC=tan∠PBA,即=,
∴=,即n=﹣a(m﹣1),
∴,
解得,m1=﹣4,m2=1(不合題意,舍去),
當(dāng)m=﹣4時,n=5a,
∵△BPA∽△ABC,
∴=,即AB2=ACPB,
∴42=,
解得,a1=(不合題意,舍去),a2=﹣,
則n=5a=﹣,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣4,﹣);
當(dāng)△PBA∽△ABC時,∠CBA=∠PBA,
∴tan∠CBA=tan∠PBA,即=,
∴=,即n=﹣3a(m﹣1),
∴,
解得,m1=﹣6,m2=1(不合題意,舍去),
當(dāng)m=﹣6時,n=21a,
∵△PBA∽△ABC,
∴=,即AB2=BCPB,
∴42=,
解得,a1=(不合題意,舍去),a2=﹣,
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣6,﹣),
綜上所述,符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣4,﹣)和(﹣6,﹣);
(3)作DM∥x軸交拋物線于M,作DN⊥x軸于N,作EF⊥DM于F,
則tan∠DAN===
∴∠DAN=60°,
∴∠EDF=60°,
∴DE==EF,
∴Q的運(yùn)動時間t=+=BE+EF,
∴當(dāng)BE和EF共線時,t最小,
則BE⊥DM,E(1,﹣4).
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【題目】在函數(shù)y=4-3x中,y隨x的增大而__________,此函數(shù)圖象經(jīng)過________象限.
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【題目】如圖,已知拋物線與x軸交于A(﹣1,0),B(4,0),與y軸交于C(0,﹣2).
(1)求拋物線的解析式;
(2)H是C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn),P是拋物線上的一點(diǎn),當(dāng)△PBH與△AOC相似時,求符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)(求出兩點(diǎn)即可);
(3)過點(diǎn)C作CD∥AB,CD交拋物線于點(diǎn)D,點(diǎn)M是線段CD上的一動點(diǎn),作直線MN與線段AC交于點(diǎn)N,與x軸交于點(diǎn)E,且∠BME=∠BDC,當(dāng)CN的值最大時,求點(diǎn)E的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2016山東濰坊第25題)如圖,已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過△ABC的三個頂點(diǎn),其中點(diǎn)A(0,1),點(diǎn)B(﹣9,10),AC∥x軸,點(diǎn)P時直線AC下方拋物線上的動點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;(2)過點(diǎn)P且與y軸平行的直線l與直線AB、AC分別交于點(diǎn)E、F,當(dāng)四邊形AECP的面積最大時,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)當(dāng)點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)時,在直線AC上是否存在點(diǎn)Q,使得以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知A,B是反比例函數(shù)y=(k>0,x>0)圖象上的兩點(diǎn),BC∥x軸,交y軸于點(diǎn)C,動點(diǎn)P從坐標(biāo)原點(diǎn)O出發(fā),沿O→A→B→C(圖中“→”所示路線)勻速運(yùn)動,終點(diǎn)為C,過P作PM⊥x軸,垂足為M.設(shè)三角形OMP的面積為S,P點(diǎn)運(yùn)動時間為t,則S關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為( )
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知Rt△ABC中,∠B=90°,
(1)根據(jù)要求作圖(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫畫法):
①作∠BAC的平分線AD交BC于D;
②作線段AD的垂直平分線交AB于E,交AC于F,垂足為H;
③連接ED.
(2)在(1)的基礎(chǔ)上寫出一對全等三角形:△ ≌△ 并加以證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】人的大腦每天能記錄大約8 600萬條信息,數(shù)據(jù)8 600用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A.0.86×104
B.8.6×102
C.8.6×103
D.86×102
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(1,2a+3)在第一象限,且到x軸的距離與到y軸的距離相等,則a=________.
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