【題目】(2016山東濰坊第25題)如圖,已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過△ABC的三個頂點,其中點A(0,1),點B(﹣9,10),AC∥x軸,點P時直線AC下方拋物線上的動點.

(1)求拋物線的解析式;(2)過點P且與y軸平行的直線l與直線AB、AC分別交于點E、F,當四邊形AECP的面積最大時,求點P的坐標;

(3)當點P為拋物線的頂點時,在直線AC上是否存在點Q,使得以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似,若存在,求出點Q的坐標,若不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=x2+2x+1;(2)P(﹣,﹣;(3)(﹣4,1)(3,1).

【解析】

試題分析:(1)用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可;(2)設(shè)點P(m, m2+2m+1),表示出PE=﹣m2﹣3m,再用S四邊形AECP=S△AEC+S△APC=AC×PE,建立函數(shù)關(guān)系式,求出極值即可;(3)先判斷出PF=CF,再得到∠PCF=∠EAF,以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似,分兩種情況計算即可.

試題解析:(1)∵點A(0,1).B(﹣9,10)在拋物線上,

,

b=2,c=1

∴拋物線的解析式為y=x2+2x+1,

(2)∵AC∥x軸,A(0,1)

x2+2x+1=1,

∴x1=6,x2=0,

∴點C的坐標(﹣6,1),

∵點A(0,1).B(﹣9,10),

∴直線AB的解析式為y=﹣x+1,

設(shè)點P(m, m2+2m+1)

∴E(m,﹣m+1)

∴PE=﹣m+1﹣(m2+2m+1)=﹣m2﹣3m,

∵AC⊥EP,AC=6,

∴S四邊形AECP

=S△AEC+S△APC

=AC×EF+AC×PF

=AC×(EF+PF)

=AC×PE

=×6×(﹣m2﹣3m)

=﹣m2﹣9m

=﹣(m+2+

∵﹣6<m<0

∴當m=﹣時,四邊形AECP的面積的最大值是,

此時點P(﹣,﹣).

(3)∵y=x2+2x+1=(x+3)2﹣2,

∴P(﹣3,﹣2),

∴PF=yF﹣yP=3,CF=xF﹣xC=3,

∴PF=CF,

∴∠PCF=45°

同理可得:∠EAF=45°,

∴∠PCF=∠EAF,

∴在直線AC上存在滿足條件的Q,

設(shè)Q(t,1)且AB=9,AC=6,CP=3

∵以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似,

①當△CPQ∽△ABC時,

,

∴t=﹣4,

∴Q(﹣4,1)

②當△CQP∽△ABC時,

,

∴t=3,

∴Q(3,1).

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