Question

8．如圖，AB是⊙O的直徑，C是弧AB的中點，⊙O的切線BD交AC的延長線于點D，E是OA的中點，⊙O的切線AF交DE的延長線于點F．
（1）求證：AB=BD；
（2）若DF=10，求半徑OA的長．

Answer 1

分析 （1）先利用直徑和弧的中點，得出∠BAD，再用切線的性質(zhì)求出∠ADB，即可得到∠BAD=∠ADB，即可；
（2）先利用直角三角形設(shè)出OA，表示出BE，BD，DE，再由平行線的性質(zhì)得出比例式$\frac{EF}{DE}=\frac{AE}{BE}$，表示出EF，即可．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直徑，點C是弧AB的中點，
∴∠BAD=45°，
∵BD是⊙O的切線，
∴∠ABD=90°，
∴∠ADB=90°-∠BAD=45°，
∴∠BAD=∠ADB，
∴AB=BD，
（2）設(shè)OA=r，則BE=$\frac{3}{2}$r，BD=2r，
∵∠ABD=90°，
∴DE=$\sqrt{B{E}^{2}+B{D}^{2}}$=$\frac{5}{2}$r，
∵BD是⊙O的切線，AF是⊙O的切線，
∴AF⊥AB，BD⊥AB，
∴AF∥BD，
∴$\frac{EF}{DE}=\frac{AE}{BE}$，
∴EF=$\frac{5}{6}$r，
∵DE+EF=DF，
∴$\frac{5}{2}$r+$\frac{5}{6}$r=10，
∴r=3，
∴OA=3

點評 此題是切線的性質(zhì)，主要考查了圓的性質(zhì)，弧的中點，勾股定理，平行線分線段成比例定理，解本題的關(guān)鍵得出$\frac{EF}{DE}=\frac{AE}{BE}$．