Question

【題目】（2017江蘇省泰州市，第25題，12分）閱讀理解：

如圖①，圖形l外一點(diǎn)P與圖形l上各點(diǎn)連接的所有線段中，若線段PA1最短，則線段PA1的長(zhǎng)度稱為點(diǎn)P到圖形l的距離．

例如：圖②中，線段P1A的長(zhǎng)度是點(diǎn)P1到線段AB的距離；線段P2H的長(zhǎng)度是點(diǎn)P2到線段AB的距離．

解決問題：

如圖③，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（8，4），（12，7），點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向x軸正方向運(yùn)動(dòng)了t秒．

（1）當(dāng)t=4時(shí)，求點(diǎn)P到線段AB的距離；

（2）t為何值時(shí)，點(diǎn)P到線段AB的距離為5？

（3）t滿足什么條件時(shí)，點(diǎn)P到線段AB的距離不超過6？（直接寫出此小題的結(jié)果）

Answer 1

【答案】（1）；（2）t=5或t=11；（3）8﹣≤t≤．

【解析】試題分析：（1）作AC⊥x軸，由PC=4、AC=4，根據(jù)勾股定理求解可得；

（2）作BD∥x軸，分點(diǎn)P在AC左側(cè)和右側(cè)兩種情況求解，P位于AC左側(cè)時(shí)，根據(jù)勾股定理即可得；P位于AC右側(cè)時(shí)，作AP2⊥AB，交x軸于點(diǎn)P2，證△ACP2≌△BEA得AP2=BA=5，從而知P2C=AE=3，繼而可得答案；

（3）分點(diǎn)P在AC左側(cè)和右側(cè)兩種情況求解，P位于AC左側(cè)時(shí)，根據(jù)勾股定理即可得；點(diǎn)P位于AC右側(cè)且P3M=6時(shí)，作P2N⊥P3M于點(diǎn)N，知四邊形AP2NM是矩形，證△ACP2∽△P2NP3得，求得P2P3的長(zhǎng)即可得出答案．

試題解析：解：（1）如圖1，作AC⊥x軸于點(diǎn)C，則AC=4、OC=8，當(dāng)t=4時(shí)，OP=4，∴PC=4，∴點(diǎn)P到線段AB的距離PA===；

（2）如圖2，過點(diǎn)B作BD∥x軸，交y軸于點(diǎn)D．

①當(dāng)點(diǎn)P位于AC左側(cè)時(shí)，∵AC=4、P1A=5，∴P1C= ==3，∴OP1=5，即t=5；

②當(dāng)點(diǎn)P位于AC右側(cè)時(shí)，過點(diǎn)A作AP2⊥AB，交x軸于點(diǎn)P2，∴∠CAP2+∠EAB=90°，∵BD∥x軸、AC⊥x軸，∴CE⊥BD，∴∠ACP2=∠BEA=90°，∴∠EAB+∠ABE=90°，∴∠ABE=∠P2AC，在△ACP2和△BEA中，∵∠ACP2=∠BEA=90°，AE=BE，∠P2AC=∠ABE，∴△ACP2≌△BEA（ASA），∴AP2=BA= = =5，而此時(shí)P2C=AE=3，∴OP2=11，即t=11；

綜上所述：t=5或t=11．

（3）如圖3，①當(dāng)點(diǎn)P位于AC左側(cè)，且AP3=6時(shí)，則P3C===，∴OP3=OC﹣P3C=8﹣；

②當(dāng)點(diǎn)P位于AC右側(cè)，且P3M=6時(shí)，過點(diǎn)P2作P2N⊥P3M于點(diǎn)N，則四邊形AP2NM是矩形，∴∠AP2N=90°，∠ACP2=∠P2NP3=90°，AP2=MN=5，∴△ACP2∽△P2NP3，且NP3=1，∴，即，∴P2P3=，∴OP3=OC+CP2+P2P3=8+3+=，∴當(dāng)8﹣≤t≤時(shí)，點(diǎn)P到線段AB的距離不超過6．