Question

如圖，已知E是△ABC的內(nèi)心，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)F，且與△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D．
（1）求證：∠DBE=∠DEB；
（2）若AD=8cm，DF：FA=1：3．求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：∵E是△ABC的內(nèi)心，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD，
∵∠CBD=∠CAD，∠DEB=∠BAD+∠ABE，∠DBE=∠CBD+∠EBC，
∴∠DBE=∠DEB；

（2）解：∵AD=8cm，DF：FA=1：3，
∴DF=2，
∵∠DBC=∠DAC，∠BAD=∠CAD，
∴∠DBC=∠BAD，
∵∠D=∠D，
∴△DBF∽△DAB，
∴DB：DA=DF：DB，
∵∠DBE=∠DEB，
∴BD=DE，
∴DE=4．
分析：（1）E是△ABC的內(nèi)心，AD，BE分別是∠BAC和∠ABC的角平分線，又同弦所對(duì)的圓周角相等，易證明∠DBE=∠DEB；
（2）AD=8cm，DF：FA=1：3，易知DF=2，∠DBE=∠DEB，即BD=DE，可以通過(guò)證明△DBF∽△DAB得出．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的外接圓與內(nèi)心，同時(shí)考查了相似三角形的判定和性質(zhì)．