【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分線AD交BC于D,過點(diǎn)D作DE⊥AD交AB于E,以AE為直徑作⊙O.
(1)求證:點(diǎn)D在⊙O上;
(2)求證:BC是⊙O的切線;
(3)若AC=6,BC=8,求△BDE的面積.
【答案】
(1)
證明:連接OD,
∵△ADE是直角三角形,OA=OE,
∴OD=OA=OE,
∴點(diǎn)D在⊙O上
(2)
證明:∵AD是∠BAC的角平分線,
∴∠CAD=∠DAB,
∵OD=OA,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠CAD=∠ODA,
∴AC∥OD,
∴∠C=∠ODB=90°,
∴BC是⊙O的切線
(3)
解:在Rt△ACB中,AC=6,BC=8,
∴根據(jù)勾股定理得:AB=10,
設(shè)OD=OA=OE=x,則OB=10﹣x,
∵AC∥OD,△ACB∽△ODB,
∴ ,∴ ,
解得:x= ,
∴OD= ,BE=10﹣2x=10﹣ = ,
∵ ,即 ,
∴BD=5,
過E作EH⊥BD,
∵EH∥OD,
∴△BEH∽△BOD,
∴ ,
∴EH= ,
∴S△BDE= BDEH= .
【解析】(1)連接OD,由DO為直角三角形斜邊上的中線,得到OD=OA=OE,可得出點(diǎn)D在圓O上;(2)由AD為角平分線,得到一對(duì)角相等,再由OD=OA,利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等,等量代換得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等,利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行得到OD與AC平行,根據(jù)兩直線平行同位角相等即可得到∠ODB為直角,即BC與OD垂直,即可確定出BC為圓O的切線;(3)過E作EH垂直于BC,由OD與AC平行,得到△ACB與△ODB相似,設(shè)OD=OA=OE=x,表示出OB,由相似得比例列出關(guān)于x的方程,求出方程的解得到x的值,確定出OD與BE的長,進(jìn)而確定出BD的長,再由△BEH與△ODB相似,由相似得比例求出EH的長,△BED以BD為底,EH為高,求出面積即可.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解勾股定理的概念(直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2),還要掌握切線的判定定理(切線的判定方法:經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y= 與雙曲線y= (k>0,x>0)交于點(diǎn)A,將直線y= 向上平移4個(gè)單位長度后,與y軸交于點(diǎn)C,與雙曲線y= (k>0,x>0)交于點(diǎn)B,若OA=3BC,則k的值為( 。
A.3
B.6
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,A,B,C,D是⊙O上的四點(diǎn),∠BAC=∠CAD,P是線段CD延長線上一點(diǎn),且∠PAD=∠ABD.
(1)請(qǐng)判斷△BCD的形狀(不要求證明);
(2)求證:PA是⊙O的切線;
(3)求證:AP2﹣DP2=DPBC.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為響應(yīng)“美麗河池 清潔鄉(xiāng)村 美化校園”的號(hào)召,紅水河中學(xué)計(jì)劃在學(xué)校公共場所安裝溫馨提示牌和垃圾箱.已知,安裝5個(gè)溫馨提示牌和6個(gè)垃圾箱需730元,安裝7個(gè)溫馨提示牌和12個(gè)垃圾箱需1310元.
(1)安裝1個(gè)溫馨提示牌和1個(gè)垃圾箱各需多少元?
(2)安裝8個(gè)溫馨提示牌和15個(gè)垃圾箱共需多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知線段AB=10,AC=BD=2,點(diǎn)P是CD上一動(dòng)點(diǎn),分別以AP、PB為邊向上、向下作正方形APEF和PHKB,設(shè)正方形對(duì)角線的交點(diǎn)分別為O1、O2 , 當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí),線段O1O2中點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑的長是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的弦,OH⊥AB于點(diǎn)H,點(diǎn)P是優(yōu)弧上一點(diǎn),若AB=2 ,OH=1,則∠APB的度數(shù)是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AG∥CD交BC于點(diǎn)G,點(diǎn)E、F分別為AG、CD的中點(diǎn),連接DE、FG.
(1)求證:四邊形DEGF是平行四邊形;
(2)當(dāng)點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)時(shí),求證:四邊形DEGF是菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長為10cm的正方形ABCD中,P為AB邊上任意一點(diǎn)(P不與A、B兩點(diǎn)重合),連結(jié)DP,過點(diǎn)P作PE⊥DP,垂足為P,交BC于點(diǎn)E,則BE的最大長度為cm.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直角三角形紙片ABC中,AB=3,AC=4,D為斜邊BC中點(diǎn),第1次將紙片折疊,使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合,折痕與AD交于點(diǎn)P1;設(shè)P1D的中點(diǎn)為D1 , 第2次將紙片折疊,使點(diǎn)A與點(diǎn)D1重合,折痕與AD交于點(diǎn)P2;設(shè)P2D1的中點(diǎn)為D2 , 第3次將紙片折疊,使點(diǎn)A與點(diǎn)D2重合,折痕與AD交于點(diǎn)P3;…;設(shè)Pn﹣1Dn﹣2的中點(diǎn)為Dn﹣1 , 第n次將紙片折疊,使點(diǎn)A與點(diǎn)Dn﹣1重合,折痕與AD交于點(diǎn)Pn(n>2),則AP6的長為( )
A.
B.
C.
D.
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