Question

【題目】定義：在平面直角坐標系中，圖形G上點P(x，y)的縱坐標y與其橫坐標x的差y﹣x稱為P點的“坐標差”，記作Zp，而圖形G上所有點的“坐標差”中的最大值稱為圖形G的“特征值”．

(1)①點A(3，1)的“坐標差”為_______；

②拋物線y＝﹣x2+5x的“特征值”為________；

(2)某二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c(c≠0)的“特征值”為﹣1，點B(m，0)與點C分別是此二次函數(shù)的圖象與x軸和y軸的交點，且點B與點C的“坐標差”相等．

①直接寫出m＝______；(用含c的式子表示)

②求此二次函數(shù)的表達式．

(3)如圖，在平面直角坐標系xOy中，點D(4，0)，以OD為直徑作⊙M，直線y＝x+b與⊙M相交于點E、F．

①比較點E、F的“坐標差”ZE、ZF的大小．

②請直接寫出⊙M的“特征值”為_______．

Answer 1

【答案】(1)①-2；②4；(2)①-c；②y＝﹣x2+3x﹣2；(3)①ZE＝ZF；②2﹣2．

【解析】

（1）①由“坐標差”的定義可求出點A（3，1）的“坐標差”；

②用y﹣x可找出y﹣x關于x的函數(shù)關系式，再利用配方法即可求出y﹣x的最大值，進而可得出拋物線y＝﹣x2+5x的“特征值”；

（2）①利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標，由“坐標差”的定義結合點B與點C的“坐標差”相等，即可求出m的值；

②由點B的坐標利用待定系數(shù)法可找出b，c之間的關系，找出y﹣x關于x的函數(shù)關系式，再利用二次函數(shù)的性質結合二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”為﹣1，即可得出關于b的一元二次方程，解之即可得出b的值，進而可得出c的值，此問得解；

（3）①利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可設點E的坐標為（xE，xE+b），點F的坐標為（xF，xF+b），結合“坐標差”的定義可得出ZE＝ZF；

②作直線y＝x+n（n＞0）與⊙M相切，設切點為N，該直線與x軸交于點Q，利用等腰直角三角形的性質可求出點Q的坐標，再利用待定系數(shù)法可求出n值，結合“特征值”的定義即可找出⊙M的“特征值”．

(1)①1﹣3＝﹣2．

故答案為：﹣2．

②y﹣x＝﹣x2+5x﹣x＝﹣(x﹣2)2+4，

∵﹣1＜0，

∴當x＝2時，y﹣x取得最大值，最大值為4．

故答案為：4．

(2)①當x＝0時，y＝﹣x2+bx+c＝c，

∴點C的坐標為(0，c)．

∵點B與點C的“坐標差”相等，

∴0﹣m＝c﹣0，

∴m＝﹣c．

故答案為：﹣c．

②由①可知：點B的坐標為(﹣c，0)．

將點B(﹣c，0)代入y＝﹣x2+bx+c，得：0＝﹣c2﹣bc+c，

∴c1＝1﹣b，c2＝0(舍去)．

∵二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c(c≠0)的“特征值”為﹣1，

∴y﹣x＝﹣x2+(b﹣1)x+1﹣b的最大值為﹣1，

∴=-1，

解得：b＝3，

∴c＝1﹣b＝﹣2，

∴二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+3x﹣2．

(3)①∵點E，F在直線y＝x+b上，

∴設點E的坐標為(xE，xE+b)，點F的坐標為(xF，xF+b)，

∴ZE＝xE+b﹣xE＝b，ZF＝xF+b﹣xF＝b，

∴ZE＝ZF．

②作直線y＝x+n(n＞0)與⊙M相切，設切點為N，該直線與x軸交于點Q，如圖所示．

∵y﹣x＝x+n﹣x＝n，

∴當直線y＝x+n(n＞0)與⊙M相切時，y﹣x的值為⊙M的“特征值”．

∵∠NQM＝45°，MN⊥NQ，MN＝2，

∴△MNQ為等腰直角三角形，

∴MQ＝2，

∴點Q的坐標為(2﹣2，0)．

將Q(2﹣2，0)代入y＝x+n，得：0＝2﹣2+n，

解得：n＝2﹣2，

∴⊙M的“特征值”為2﹣2．

故答案為：2﹣2．