Question

【題目】如圖，直線l是線段MN的垂直平分線，交線段MN于點O，在MN下方的直線l上取一點P，連接PN，以線段PN為邊，在PN上方作正方形NPAB，射線MA交直線l于點C，連接BC．

（1）設∠ONP＝α，求∠AMN的度數；

（2）寫出線段AM、BC之間的等量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）45°（2），理由見解析

【解析】

（1）由線段的垂直平分線的性質可得PM＝PN，PO⊥MN，由等腰三角形的性質可得∠PMN＝∠PNM＝α，由正方形的性質可得AP＝PN，∠APN＝90°，可得∠APO＝α，由三角形內角和定理可求∠AMN的度數；

（2）由等腰直角三角形的性質和正方形的性質可得，，∠MNC＝∠ANB＝45°，可證△CBN∽△MAN，可得．

解：（1）如圖，連接MP，

∵直線l是線段MN的垂直平分線，

∴PM＝PN，PO⊥MN

∴∠PMN＝∠PNM＝α

∴∠MPO＝∠NPO＝90°－α，

∵四邊形ABNP是正方形

∴AP＝PN，∠APN＝90°

∴AP＝MP，∠APO＝90°－（90°－α）＝α

∴∠APM＝∠MPO－∠APO＝（90°－α）－α＝90°－2α，

∵AP＝PM

∴，

∴∠AMN＝∠AMP－∠PMN＝45°＋α－α＝45°

（2）

理由如下：

如圖，連接AN，CN，

∵直線l是線段MN的垂直平分線，

∴CM＝CN，

∴∠CMN＝∠CNM＝45°，

∴∠MCN＝90°

∴，

∵四邊形APNB是正方形

∴∠ANB＝∠BAN＝45°

∴，∠MNC＝∠ANB＝45°

∴∠ANM＝∠BNC

又∵

∴△CBN∽△MAN

∴

∴