【題目】(14分)如圖,拋物線與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,點D為拋物線的頂點,請解決下列問題.
(1)填空:點C的坐標為( , ),點D的坐標為( , );
(2)設(shè)點P的坐標為(a,0),當最大時,求a的值并在圖中標出點P的位置;
(3)在(2)的條件下,將△BCP沿x軸的正方向平移得到△B′C′P′,設(shè)點C對應點C′的橫坐標為t(其中0<t<6),在運動過程中△B′C′P′與△BCD重疊部分的面積為S,求S與t之間的關(guān)系式,并直接寫出當t為何值時S最大,最大值為多少?
【答案】(1)C(0,3),D(1,4);(2)a=﹣3;(3)S=,當t=時,S有最大值.
【解析】試題分析:(1)令x=0,得到C的坐標,把拋物線配成頂點式,可得頂點D的坐標;
(2)延長CD交x軸于點P.因為小于或等于第三邊CD,所以當等于CD時, 的值最大.因此求出過CD兩點的解析式,求它與x軸交點坐標即可;
(3)過C點作CE∥x軸,交DB于點E,求出直線BD的解析式,得到點E的坐標,求出P′C′與BC的交點M的坐標,分兩種情況討論:①點C′在線段CE上;②點C′在線段CE的延長線上,再分別求得N點坐標,再利用圖形的面積的差,可表示出S,再求得其最大值即可.
試題解析:(1)在中,令x=0,得到y=3,∴C(0,3),∵=,∴D(1,4),故答案為:C(0,3),D(1,4);
(2)∵在三角形中兩邊之差小于第三邊,∴延長DC交x軸于點P,設(shè)直線DC的解析式為,把D、C兩點坐標代入可得: ,解得: ,∴直線DC的解析式為,將點P的坐標(a,0)代入得a+3=0,求得a=﹣3,如圖1,點P(﹣3,0)即為所求;
(3)過點C作CE∥x,交直線BD于點E,如圖2,
由(2)得直線DC的解析式為,易求得直線BD的解析式為,直線BC的解析式為,在中,當y=3時,x=,∴E點坐標為(,3),設(shè)直線P′C′與直線BC交于點M,∵P′C′∥DC,P′C′與y軸交于點(0,3﹣t),∴直線P′C′的解析式為,聯(lián)立: ,解得: ,∴點M坐標為(, ),∵B′C′∥BC,B′坐標為(3+t,0),∴直線B′C′的解析式為,
分兩種情況討論:①當時,如圖2,B′C′與BD交于點N,聯(lián)立:,解得: ,∴N點坐標為(3﹣t,2t),S=S△B′C′P﹣S△BMP﹣S△BNB′=×6×3﹣(6﹣t)×(6﹣t)﹣t×2t=,其對稱軸為t=,可知當時,S隨t的增大而增大,當t=時,有最大值;
②當時,如圖3,直線P′C′與DB交于點N,
聯(lián)立: ,解得: ,∴N點坐標為(, ),S=S△BNP′﹣S△BMP′=(6﹣t)×﹣×(6﹣t)×==;
顯然當<t<6時,S隨t的增大而減小,當t=時,S=
綜上所述,S與t之間的關(guān)系式為S=,且當t=時,S有最大值,最大值為.
∵,∴當t=時,S有最大值.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】蕪湖長江大橋是中國跨度最大的公路和鐵路兩用橋梁,大橋采用低塔斜拉橋橋型(如甲圖),圖乙是從圖甲引申出的平面圖,假設(shè)你站在橋上測得拉索AB與水平橋面的夾角是30°,拉索CD與水平橋面的夾角是60°,兩拉索頂端的距離BC為2米,兩拉索底端距離AD為20米,請求出立柱BH的長.(結(jié)果精確到0.1米, ≈1.732)
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【題目】下列命題的逆命題成立的是( ).
A.全等三角形的對應角相等
B.若三角形的三邊滿足,則該三角形是直角三角形
C.對頂角相等
D.同位角互補,兩直線平行
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【題目】如圖1,二次函數(shù)y1=(x﹣2)(x﹣4)的圖象與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),其對稱軸l與x軸交于點C,它的頂點為點D.
(1)寫出點D的坐標 .
(2)點P在對稱軸l上,位于點C上方,且CP=2CD,以P為頂點的二次函數(shù)y2=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過點A.
①試說明二次函數(shù)y2=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過點B;
②點R在二次函數(shù)y1=(x﹣2)(x﹣4)的圖象上,到x軸的距離為d,當點R的坐標為 時,二次函數(shù)y2=ax2+bx+c(a≠0)的圖象上有且只有三個點到x軸的距離等于2d;
③如圖2,已知0<m<2,過點M(0,m)作x軸的平行線,分別交二次函數(shù)y1=(x﹣2)(x﹣4)y2=ax2+bx+c(a≠0)的圖象于點E、F、G、H(點E、G在對稱軸l左側(cè)),過點H作x軸的垂線,垂足為點N,交二次函數(shù)y1=(x﹣2)(x﹣4)的圖象于點Q,若△GHN∽△EHQ,求實數(shù)m的值.
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【題目】張明和李強兩名運動愛好者周末相約到東湖綠道進行跑步鍛煉.(1)周日早上6點,張明和李強同時從家出發(fā),分別騎自行車和步行到離家距離分別為4.5千米和1.2千米的綠道落雁島入口匯合,結(jié)果同時到達,且張明每分鐘比李強每分鐘多行220米,求張明和李強的速度分別是多少米/分?
(1)兩人到達綠道后約定先跑 6 千米再休息,李強的跑步速度是張明跑步速度的m倍,兩人在同起點,同時出發(fā),結(jié)果李強先到目的地n分鐘.
①當m=12,n=5時,求李強跑了多少分鐘?
②張明的跑步速度為 米/分(直接用含m,n的式子表示).
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【題目】機動車出發(fā)前油箱內(nèi)有42升油,行駛?cè)舾尚r后,途中在加油站加油若干升.油箱中余油量(升)與行駛時間(小時)之間的關(guān)系如圖所示,根據(jù)下圖回答問題:
(1)機動車行駛幾小時后加油?加了多少油?
(2)試求加油前油箱余油量與行駛時間之間的關(guān)系式;
(3)如果加油站離目的地還有350千米,車速為60千米/小時,照這樣行駛,要到達目的地,油箱中的油是否夠用?請說明理由.
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【題目】如圖,△AOB為等腰三角形,頂點A的坐標(2,),底邊OB在x軸上.將△AOB繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后得△A′O′B,點A的對應點A′在x軸上,則點O′的坐標為( 。
A. (,) B. (,) C. (,) D. (,4)
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【題目】已知,如圖,在平行四邊形ABCD中,BF平分交AD于點F,AEBF于點O,交BC于點E,連接EF.
(1)求證:四邊形ABEF是菱形;
(2)若AE=6,BF=8,CE=3,求四邊形ABCD的面積.
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