【題目】如圖,已知∠AOB的大小為α,P是∠AOB內(nèi)部的一個定點,且OP=4,點E、F分別是OA、OB上的動點,若△PEF周長的最小值等于4,則α=_____.
【答案】30°
【解析】
設點P關(guān)于OA的對稱點為C,關(guān)于OB的對稱點為D,當點E、F在CD上時,△PEF的周長為PE+EF+FP=CD,此時周長最小,根據(jù)CD=4,求出α的度數(shù)即可.
解:如圖,作點P關(guān)于OA的對稱點C,關(guān)于OB的對稱點D,連接CD,交OA于E,OB于F.此時,△PEF的周長最。
連接OC,OD,PE,PF.
∵點P與點C關(guān)于OA對稱,
∴OA垂直平分PC,
∴∠COA=∠AOP,PE=CE,OC=OP,
同理,可得∠DOB=∠BOP,PF=DF,OD=OP.
∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α,OC=OD=4,
∴∠COD=2α.
又∵△PEF的周長=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4,
∴OC=OD=CD=4,
∴△COD是等邊三角形,
∴2α=60°,
∴α=30°.
故答案為:30°
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【題目】如圖,利用關(guān)于坐標軸對稱的點的坐標特點
(1) 作出△ABC關(guān)于x軸對稱的圖象.
(2) 寫出A、B、C的對應點A′、B′、C′的坐標.
(3) 直接寫出△ABC的面積__________
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【題目】如圖,已知,兩點在數(shù)軸上,點表示的數(shù)為-10,,點以每秒3個單位長度的速度從點向右運動.點以每秒2個單位長度的速度從點向右運動(點、同時出發(fā))
(1)請你寫出數(shù)軸上點對應的數(shù);
(2)當運動的時間為3秒時,請你求出此時點、在數(shù)軸上對應的數(shù),并求出、之間的距離;
(3)經(jīng)過幾秒,點、點分別到原點的距離相等.
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【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F為垂足,則下列四個結(jié)論:(1)AD上任意一點到點C、D的距離相等;(2)AD上任意一點到AB、AC的距離相等;(3)AD⊥BC且BD=CD;(4)∠BDE=∠CDF,其中正確的個數(shù)是( )
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
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【題目】校體育組為了解全校學生“最喜歡的一項球類項目”,隨機抽取了部分學生進行調(diào)查,下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的不完整的統(tǒng)計圖:
請你根據(jù)統(tǒng)計圖回答下列問題:
(1)喜歡乒乓球的學生所占的百分比是多少?并請補全條形統(tǒng)計圖;
(2)請你估計全校500名學生中最喜歡“排球”項目的有多少名?
(3)在扇形統(tǒng)計圖中,“籃球”部分所對應的圓心角是多少度?
(4)籃球教練在制定訓練計劃前,將從最喜歡籃球項目的甲、乙、丙、丁四名同學中任選兩人進行個別座談,請用列表法或樹狀圖法求抽取的兩人恰好是甲和乙的概率.
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【題目】如圖,在△ABC中,BA=BC,D在邊CB上,且DB=DA=AC
(1)填空:如圖1,∠B= °,∠C= °;
(2)如圖2,若M為線段BC上的點,過M作MH⊥AD,交AD的延長線于點H,分別交直線AB、AC與點N、E.
①求證:△ANE是等腰三角形;
②線段BN、CE、CD之間的數(shù)量關(guān)系是 .
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【題目】如圖,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC=2,把△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°后得到△AB′C′,則線段BC在上述旋轉(zhuǎn)過程中所掃過部分(陰影部分)的面積是________.
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【題目】閱讀下列材料并解決后面的問題
材料:對數(shù)的創(chuàng)始人是蘇格蘭數(shù)學家納皮爾(J.Npler,1550-1617年),納皮爾發(fā)明對數(shù)是在指數(shù)書寫方式之前,直到18世紀瑞士數(shù)學家歐拉(Evler,1707--1783)才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對數(shù)之間的聯(lián)系,我們知道,n個相同的因數(shù)a相乘aa…,a記為an,如23=8,此時,3叫做以2為底8的對數(shù),記為log28,即log28=3一般地若an=b(a>0且a≠1,b>0),則n叫做以a為底b的對數(shù),記為logab,即logab=n.如34=81,則4叫做以3為底81的對數(shù),記為log381,即log381=4.
(1)計算下列各對數(shù)的值:log24=______,log216=______,log264=______;
(2)通過觀察(1)中三數(shù)log24、log216、log264之間滿足的關(guān)系式是______;
(3)拓展延伸:下面這個一股性的結(jié)論成立嗎?我們來證明logaM+logaN=logaMN(a>0且a≠1,M>0,N>0)
證明:設logaM=m,logaN=n,
由對數(shù)的定義得:am=M,an=N,
∴aman=am+n=MN,
∴logaMN=m+n,
又∵logaM=m,logaN=n,
∴logaM+logaN=logaMN(a>0且a≠1,M>0,N>0);
(4)仿照(3)的證明,你能證明下面的一般性結(jié)論嗎?logaM-logaN=loga(a>0且a≠1,M>0,N>0)
(5)計算:log34+log39-log312的值為______.
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【題目】點在數(shù)軸上分別表示有理數(shù),兩點之間的距離表示為,在數(shù)軸上A、B兩點之間的距離.
利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問題:
(1)數(shù)軸上表示-2和1的兩點之間的距離是______.
(2)數(shù)軸上表示和-1的兩點之間的距離表示為______.
(3)在數(shù)軸上點表示數(shù),點表示數(shù),點表示數(shù),且滿足,若是數(shù)軸上任意一點,點表示的數(shù)是,當時,的值為多少?
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