Question

20．如圖，我校九年級一個學(xué)習(xí)小組進行測量小山高度的實踐活動，部分同學(xué)在山腳點A測得山腰上一點D的仰角為30°，并測得AD的長度為180米；另一部分同學(xué)在山頂點B測得山腳點A的俯角為45°，山腰點D的俯角為60°，請你幫助他們計算出小山BC的高度（結(jié)果保留根號）．

Answer 1

分析 首先根據(jù)題意分析圖形；過點D作DE⊥AC于點E，作DF⊥BC于點F；構(gòu)造本題涉及到的兩個直角三角形，根據(jù)圖形分別求解可得DE與BF的值，再利用BC=DE+BF，進而可求出答案．

解答 解：過點D作DE⊥AC于點E，作DF⊥BC于點F，
則DE∥FC，DF∥EC，
∵∠DEC=90°，
∴四邊形DECF是矩形，
∴DE=FC，
∵∠HBA=∠BAC=45°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=45°-30°=15°．
又∵∠ABD=∠HBD-∠HBA=60°-45°=15°，
∴△ADB是等腰三角形，
∴AD=BD=180（米），
在Rt△AED中，sin∠DAE=sin30°=$\frac{DE}{AD}$，
∴DE=180•sin30°=180×$\frac{1}{2}$=90（米），
∴FC=90米．
在Rt△BDF中，∠BDF=∠HBD=60°，sin∠BDF=sin60°=$\frac{BF}{BD}$，
∴BF=180•sin60°=180×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=90$\sqrt{3}$，
∴BC=BF+FC=90（$\sqrt{3}$+1）（米），
答：小山的高度BC為90（$\sqrt{3}$+1）米．

點評 本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，正確理解仰角和俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．