Question

（2011•成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的A、B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸上，頂點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC的面積S_△ABC=15，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)．
（1）求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上異于點(diǎn)B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG垂直于x軸于點(diǎn)G，再過(guò)點(diǎn)E作EH垂直于x軸于點(diǎn)H，得到矩形EFGH．則在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)矩形EFGH為正方形時(shí)，求出該正方形的邊長(zhǎng)；
（3）在拋物線上是否存在異于B、C的點(diǎn)M，使△MBC中BC邊上的高為？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，
設(shè)OA=m，則OB=OC=5m，AB=6m，
由_△ABC=AB×OC=15，得×6m×5m=15，解得m=1（舍去負(fù)值），
∴A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣5），將C點(diǎn)坐標(biāo)代入，得a=1，
∴拋物線解析式為y=（x+1）（x﹣5），
即y=x²﹣4x﹣5；
（2）設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m²﹣4m﹣5），拋物線對(duì)稱(chēng)軸為x=2，
由2（m﹣2）=EH，得2（m﹣2）=﹣（m²﹣4m﹣5）或2（m﹣2）=m²﹣4m﹣5，
解得m=1±或m=3±，
∵m＞2，∴m=1+或m=3+，
邊長(zhǎng)EF=2（m﹣2）=2﹣2或2+2；

（3）存在．
由（1）可知OB=OC=5，
∴△OBC為等腰直角三角形，直線BC解析式為y=x﹣5，
依題意，直線y=x+9或直線y=x﹣19與BC的距離為7，
聯(lián)立，，
解得或，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，7），（7，16）．

解析