Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c（c≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-2，m）（m＜0），與y軸交于點(diǎn)B，與x軸交于C、D兩點(diǎn)（C在D的左側(cè)），AB//x軸，且AB：OB=2：3．

（1）求m的值；

（2）求二次函數(shù)的解析式；

（3）在線段BC上是否存在點(diǎn)P，使ΔPOC為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）m=-3;(2) ;(3) 存在點(diǎn)，，，使為等腰三角形,理由見解析

【解析】

（1）由AB∥x軸，A（﹣2，m），可得AB=2，又由AB：OB=2：3，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，則可求得m的值；

（2）由二次函數(shù)與y軸的交于點(diǎn)B，可求得c的值，又由圖象過點(diǎn)A（﹣2，﹣3），將其代入函數(shù)解析式，即可求得b的值，則可得此二次函數(shù)解析式；

（3）由二次函數(shù)的圖象與x軸交于C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在左惻），可得當(dāng)y=0即可求得C的坐標(biāo)，若△POC為等腰三角形，則可分別從①當(dāng)PC=PO時(shí)，②當(dāng)PO=CO時(shí)，③當(dāng)PC=CO時(shí)去分析，即可求得滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（1）∵AB∥x軸，A（﹣2，m），∴AB=2．

又∵AB：OB=2：3，∴OB=3，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，﹣3），∴m=﹣3；

（2）∵二次函數(shù)與y軸的交于點(diǎn)B，∴c=﹣3．

又∵圖象過點(diǎn)A（﹣2，﹣3），∴﹣3=4﹣2b﹣3，∴b=2，∴二次函數(shù)解析式為y=x2+2x﹣3；

（3）當(dāng)y=0時(shí)，有x2+2x﹣3=0，解得x1=﹣3，x2=1，由題意得：C（﹣3，0）．

若△POC為等腰三角形，則有：

①當(dāng)PC=PO時(shí)，點(diǎn)P（）；

②當(dāng)PO=CO時(shí)，點(diǎn)P（0，﹣3）；

③當(dāng)PC=CO時(shí)，設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y=kx+n，則有，解得：，∴直線BC的函數(shù)解析式為y=﹣x﹣3．

設(shè)點(diǎn)P（x，﹣x﹣3），由PC=CO，得：[﹣（x+3）]2+[﹣（﹣x﹣3）]2=32，解得：x1=﹣3，x2=﹣3（不合題意，舍去），∴P（﹣3）．

綜上所述：存在點(diǎn)P（）或P（0，﹣3）或P（﹣3），使△POC為等腰三角形．