Question

【題目】如圖，△ABC 為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，點(diǎn) M 為 AB 邊的中點(diǎn)，點(diǎn) N 為射線 AC 上一點(diǎn)，連接 BN，過點(diǎn) C 作 CD⊥BN 于點(diǎn) D，連接 MD，作∠BNE＝∠BNA，邊 EN 交射線 MD 于點(diǎn) E，若 AB＝20，MD＝14，則 NE 的長為___.

Answer 1

【答案】

【解析】

連接CM，過點(diǎn)M作MF⊥BD于F，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出BM、BC，證出C、M、B、D四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理的推論和等腰三角形的判定證出△DMF為等腰直角三角形，利用勾股定理和銳角三角函數(shù)求出BD和BN，然后證出△NDE∽△MDB列出比例式即可求出結(jié)論．

解：連接CM，過點(diǎn)M作MF⊥BD于F

∵△ABC 為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，點(diǎn) M 為 AB 邊的中點(diǎn)，AB＝20，

∴BM=AB=10，AC=BC=20，∠CMB=90°，∠BCM=∠ACB＝45°

∵CD⊥BN

∴∠CDB=90°

∴∠CDB＋∠CMB=180°

∴C、M、B、D四點(diǎn)共圓

∴∠MDB=∠BCM=45°，∠DCB=∠BMD

∴△DMF為等腰直角三角形

∵MD＝14，

∴MF=DF=14

在Rt△BMF中，BF=

∴BD=BF＋DF=16

∵cos∠CBN=

即

解得：BN=25

∴DN=BN－BD=9

∵∠BNE＝∠BNA，而∠DCN＋∠BNA=90°

∴∠BNE＋∠DCN=90°

∵∠DCN＋∠DCB=90°

∴∠BNE=∠DCB

∴∠BNE=∠BMD

∵∠NDE=∠MDB

∴△NDE∽△MDB

∴

即

解得：NE=

故答案為：．