【題目】(12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點,平行四邊形ABCD的邊BC在x軸上,D點在y軸上,C點坐標(biāo)為(2,0),BC=6,∠BCD=60°,點E是AB上一點,AE=3EB,⊙P過D,O,C三點,拋物線過點D,B,C三點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)求證:ED是⊙P的切線;
(3)若將△ADE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°,E點的對應(yīng)點E′會落在拋物線上嗎?請說明理由;
(4)若點M為此拋物線的頂點,平面上是否存在點N,使得以點B,D,M,N為頂點的四邊形為平行四邊形?若存在,請直接寫出點N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)證明見試題解析;(3)不在;(4)N(﹣5,)或(3,)或(﹣3,).
【解析】
試題分析:(1)先確定點B的坐標(biāo),再在Rt△OCD中利用∠OCD的正切求出OD的長,從而得到點D的坐標(biāo),然后利用交點式求拋物線的解析式;
(2)先計算出CD=2OC=4,由平行四邊形的性質(zhì)得到AB=CD=4,AB∥CD,∠A=∠BCD=60°,AD=BC=6,則由AE=3BE得到AE=3,得出,加上∠DAE=∠DCB,得到△AED∽△COD,∠ADE=∠CDO,而∠ADE+∠ODE=90°,則∠CDO+∠ODE=90°,得到CD為⊙P的直徑,即可得到結(jié)論;
(3)由△AED∽△COD,得出DE的長,由∠CDE=90°,DE>DC,再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得E點的對應(yīng)點E′在射線DC上,而點C、D在拋物線上,于是可判斷點E′不能在拋物線上;
(4)利用配方得到y(tǒng)=,則M(﹣1,),且B(﹣4,0),D(0,),由平行四邊形的性質(zhì)和點平移的規(guī)律,利用分三種情況討論得到N點的坐標(biāo).
試題解析:(1)∵C(2,0),BC=6,∴B(﹣4,0),在Rt△OCD中,∵tan∠OCD=,∴OD=2tan60°=,∴D(0,),設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+4)(x﹣2),把D(0,)代入得a4(﹣2)=,解得a=,∴拋物線的解析式為=;
(2)在Rt△OCD中,CD=2OC=4,∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴AB=CD=4,AB∥CD,∠A=∠BCD=60°,AD=BC=6,∵AE=3BE,∴AE=3,∴,,∴,而∠DAE=∠DCB,∴△AED∽△COD,∴∠ADE=∠CDO,而∠ADE+∠ODE=90°,∴∠CDO+∠ODE=90°,∴CD⊥DE,∵∠DOC=90°,∴CD為⊙P的直徑,∴ED是⊙P的切線;
(3)E點的對應(yīng)點E′不會落在拋物線上.理由如下:
∵△AED∽△COD,∴,即,解得DE=,∵∠CDE=90°,DE>DC,∴△ADE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°,E點的對應(yīng)點E′在射線DC上,而點C、D在拋物線上,∴點E′不能在拋物線上;
(4)存在.∵y==,∴M(﹣1,),而B(﹣4,0),D(0,),如圖2,當(dāng)BM為平行四邊形BDMN的對角線時,點D向左平移4個單位,再向下平移個單位得到點B,則點M(﹣1,)向左平移4個單位,再向下平移個單位得到點N1(﹣5,);
當(dāng)DM為平行四邊形BDMN的對角線時,點B向右平移3個單位,再向上平移個單位得到點M,則點D(0,)向右平移3個單位,再向上平移個單位得到點N2(3,);
當(dāng)BD為平行四邊形BDMN的對角線時,點M向左平移3個單位,再向下平移個單位得到點B,則點D(0,)向右平移3個單位,再向下平移個單位得到點N3(﹣3,),
綜上所述,點N的坐標(biāo)為(﹣5,)、(3,)、(﹣3,).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點,B點坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于點C(0,﹣3)
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P在拋物線位于第四象限的部分上運動,當(dāng)△BCP的面積最大時,求點P的坐標(biāo)和△BCP的最大面積.
(3)當(dāng)△BCP的面積最大時,在拋物線上是否點Q(異于點P),使△BCQ的面積等于△BCP,若存在,求出點Q的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,且OA=OC,則下列結(jié)論:①abc<0;②;③ac﹣b+1=0;④OAOB=﹣.其中正確結(jié)論的序號是 .
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【題目】若邊長為a的正方形的面積等于長為b+c,寬為b-c的長方形的面積,則以a、b、c為三邊長的三角形是________三角形.
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【題目】熱氣球的探測器顯示,從熱氣球底部A處看一棟高樓頂部的俯角為30°,看這棟樓底部的俯角為60°,熱氣球A處與地面距離為420米,求這棟樓的高度.
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【題目】下列函數(shù)關(guān)系中,屬于正比例函數(shù)關(guān)系的是( )
A.圓的面積與它的半徑
B.面積為常數(shù)S時矩形的長y與寬x
C.路程是常數(shù)時,行駛的速度v與時間t
D.三角形的底邊是常數(shù)a時它的面積S與這條邊上的高h
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【題目】在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi),將函數(shù)y=2x2﹣3的圖象向右平移2個單位,再向下平移1個單位得到新圖象的頂點坐標(biāo)是 .
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