Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，6），拋物線經(jīng)過(guò)A、O、B三點(diǎn)，連接OA、OB、AB，線段AB交y軸于點(diǎn)E．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）點(diǎn)F為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O、B重合），直線EF與拋物線交于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)N在y軸右側(cè)），連接ON、BN，當(dāng)點(diǎn)F在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求△BON 面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)△BON面積最大時(shí)，連接AN，若點(diǎn)P坐標(biāo)平面內(nèi)，并使得△BOP∽△OAN（點(diǎn)B、O、P分別與點(diǎn)O、A、N對(duì)應(yīng)），請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，將A（-2，2），B（6，6），O（0，0）三點(diǎn)坐標(biāo)代入，列方程組求a、b、c的值即可；
（2）依題意，得直線OB的解析式為y=x，設(shè)過(guò)N點(diǎn)且與直線OB平行的直線解析式為y=x+m，與拋物線解析式聯(lián)立，得出關(guān)于x的一元二次方程，當(dāng)△=0時(shí)，△BON面積最大，由此可求m的值及N點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到BO：OA=OP：AN=BP：ON，然后根據(jù)勾股定理分別計(jì)算出BO=6

2

，OA=2

2

，AN=

5 17

4

，ON=

3 17

4

，這樣可求出OP=

5 17

4

，BP=

9 17

4

，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），再利用勾股定理得到關(guān)于x，y的方程組，解方程組即可．

解答：解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
將A（-2，2），B（6，6），O（0，0）三點(diǎn)坐標(biāo)代入，得

4a-2b+c=2 36a+6b+c=6 c=0

，
解得

a= 1 4 b=- 1 2 c=0

，
∴y=

1

4

x²-

1

2

x，

（2）依題意，得直線OB的解析式為y=x，設(shè)過(guò)N點(diǎn)且與直線OB平行的直線解析式為y=x+m，
聯(lián)立

y= 1 4 x2 - 1 2 x y=x+m

，得x²-6x-4m=0，
當(dāng)△=36+16m=0時(shí)，過(guò)N點(diǎn)與OB平行的直線與拋物線有唯一的公共點(diǎn)，則點(diǎn)N到OB的距離最大，所以△BON面積最大，
解得m=-

9

4

，x=3，y=

3

4

，即N（3，

3

4

）；
此時(shí)△BON面積=

1

2

×6×6-

1

2

（

3

4

+6）×3-

1

2

×

3

4

×3=

27

4

；

（3）過(guò)點(diǎn)A作AS⊥GQ于S，
∵A（-2，2），B（6，6），N（3，

3

4

），
∵∠AOE=∠OAS=∠BOH=45°，
OG=3，NG=

3

4

，NS=

5

4

，AS=5，
在Rt△SAN和Rt△NOG中，
∴tan∠SAN=tan∠NOG=

1

4

，
∴∠SAN=∠NOG，
∴∠OAS-∠SAN=∠BOG-∠NOG，
∴∠OAN=∠BON，
∴ON的延長(zhǎng)線上存在一點(diǎn)P，使得△BOP∽△OAN，
∵A（-2，2），N（3，

3

4

），
∵△BOP與△OAN相似（點(diǎn)B、O、P分別與點(diǎn)O、A、N對(duì)應(yīng)），即△BOP∽△OAN，
∴BO：OA=OP：AN=BP：ON
又∵A（-2，2），N（3，

3

4

），B（6，6），
∴BO=6

2

，OA=2

2

，AN=

5 17

4

，ON=

3 17

4

，
∴OP=

15 17

4

，BP=

9 17

4

，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（4x，x），
∴16x²+x²=（

15 17

4

）²，
解得x=

15

4

，4x=15，
∵P、P′關(guān)于直線y=x軸對(duì)稱，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（15，

15

4

）或（

15

4

，15）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．根據(jù)已知條件求直線、拋物線解析式，再根據(jù)圖形特點(diǎn)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為列方程組，利用代數(shù)方法解題．