Question

如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠ABE=∠EBC，CE⊥BD的延長線于E，求證：BD=2CE．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：根據ASA推出△BEF≌△BEC，推出CE=FE=CF，求出∠ABD=∠ACF，∠BAD=∠CAF，根據ASA推出△ABD≌△ACF，推出BD=CF即可．

解答：證明：延長BA交CE的延長線于F．
∵BE⊥CE，
∴∠BEF=∠BEC=90°，
在△BEF和△BEC中

∠BEF=∠BEC BE=BE ∠EBF=∠EBC

∴△BEF≌△BEC（ASA），
∴CE=FE=

1

2

CF（全等三角形對應邊相等），
∵∠BAC=90°，BE⊥CF，
∴∠BAD=∠CAF=90°，
∴∠BDA+∠ABD=∠EDC+∠ECA=90°
即∠ABD=∠ECA
在△ABD和△ACF中

∠ABD=∠ACF AB=AC ∠BAD=∠CAF

∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD=CF，
∵CE=EF=

1

2

CF，
∴BD=2CE．

點評：本題考查了全等三角形性質和判定的應用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對應邊相等，對應角相等．