Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E，F分別BC，CD邊上的一點，且BE＝2EC，FC＝DC，連接AE，AF，EF，求證：△AEF是直角三角形．

Answer 1

【答案】見解析．

【解析】

設FC＝2a，由正方形的性質得出AB＝BC＝AD＝CD＝9a，，然后利用勾股定理分別表示出，然后根據勾股定理的逆定理即可證明結論．

證明：設FC＝2a，則DC＝9a，DF＝7a．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝AD＝CD＝9a， ．

∵BE＝2CE，

∴BE＝6a，EC＝3a．

在Rt△ECF中，EF2＝EC2＋FC2＝（3a）2＋（2a）2＝13a2．

在Rt△ADF中，AF2＝AD2＋DF2＝（9a）2＋（7a）2＝130a2．

在Rt△ABE中，AE2＝AB2＋BE2＝（9a）2＋（6a）2＝117a2．

∵13a2＋117a2＝130a2，

∴EF2＋AE2＝AF2．

∴△AEF是以∠AEF為直角的直角三角形．