Question

12、如圖，已知⊙O₁與⊙O₂相交于點(diǎn)A、B，過(guò)點(diǎn)A作⊙O₁的切線(xiàn)交⊙O₂于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作兩圓的割線(xiàn)分別交⊙O₁、⊙O₂于點(diǎn)D、E，DE與AC相交于點(diǎn)P．
（1）求證：AD∥EC；
（2）若AD是⊙O₂的切線(xiàn)，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接AB．根據(jù)弦切角定理可得∠BAC=∠D，而∠BAC和∠E是同弧所對(duì)的圓周角，由此可證得AD、EC所在直線(xiàn)的內(nèi)錯(cuò)角相等，即可得證；
（2）由于PA是⊙O₁的切線(xiàn)，由切割線(xiàn)定理可求得PB的長(zhǎng)．而AD是⊙O₂的切線(xiàn)，同樣可根據(jù)切割線(xiàn)定理求得AD的長(zhǎng)．

解答：解：（1）連接AB．
因?yàn)锳C是⊙O₁的切線(xiàn)，
所以∠BAC=D．
又因?yàn)椤螧AC=∠E，
所以∠D=∠E，
所以AD∥CE．

（2）因?yàn)镻A是⊙O₁的切線(xiàn)，
所以PA²=PB•（PB+BD）．
即6²=PB•（PB+9），
解，得PB=3，PB=-12（舍去）．
又AD是☉O₂的切線(xiàn)，
所以AD²=DB•DE=9×16，
即AD=12．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)有：弦切角定理、圓周角定理及切割線(xiàn)定理．