Question

如圖，AB=16cm，AC=12cm，動點(diǎn)P、Q分別以每秒2cm和1cm的速度同時開始運(yùn)動，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC邊一直移到點(diǎn)C為止，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BA邊一直移動到點(diǎn)A為止．
（1）寫出AP的長y₁和AQ的長y₂關(guān)于時間t的函數(shù)；
（2）經(jīng)過多少時間后，△APQ與△ABC相似？
（3）在整個過程中，是否存在使△APQ的面積恰好為△ABC面積一半的情況？若存在，請問此時點(diǎn)Q運(yùn)動了多少時間？若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意得：y₁=2t（0≤t≤6），y₂=16-t（0≤t≤16）．

（2）當(dāng)0≤t≤6時，
①若QP∥BC，則有△AQP∽△ABC．
∴．
∵AB=16cm，AC=12cm，AP=2t，AQ=16-t，
∴，
解得：
②∵∠A=∠A，若∠AQP=∠C，
則有△AQP∽△ACB
∴
∴，
解得：t=6.4、（不符合題意，舍去）
當(dāng)6≤t≤16時，點(diǎn)P與C重合
∵∠A=∠A，只有當(dāng)∠AQC=∠ACB時，有△AQC∽△ACB，
∴
∴，
解得：t=7
綜上所述：
在0≤t≤6中，當(dāng)時，△AQP∽△ABC
在6≤t≤16中，當(dāng)t=7時，△AQC∽△ACB

（3）當(dāng)0≤t≤6時，過點(diǎn)P、C分別作AB的垂線，垂足為D、E，
∴PD=APsin∠A，CE=ACsin∠A．
如果△APQ的面積恰好為△ABC面積一半，
那么，
∴，
得：t²-16t+48=0，
解得：t=4或者t=12（舍去）．
當(dāng)6≤t≤16時，點(diǎn)P與C重合，
即，
如果△AQC的面積恰好為△ABC面積一半，
那么，
解得：t=8 ．
綜上所述：
在0≤t≤6中，當(dāng)t=4時，△APQ的面積恰好為△ABC面積一半；
在6≤t≤16中，當(dāng)t=8時，△AQC的面積恰好為△ABC面積一半．
分析：（1）本題可結(jié)合三角形的周長，根據(jù)路程=速度×?xí)r間求出AP的長y₁和AQ的長y₂關(guān)于時間t的函數(shù)；
（2）分0≤t≤6，6≤t≤16兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出所用的時間；
（3）當(dāng)0≤t≤6時，過點(diǎn)P、C分別作AB的垂線，垂足為D、E，根據(jù)△APQ的面積恰好為△ABC面積一半，，求出所用的時間；當(dāng)6≤t≤16時，點(diǎn)P與C重合，即，根據(jù)△AQC的面積恰好為△ABC面積一半，求出所用的時間．
點(diǎn)評：本題主要考查了路程問題，三角形的面積比的計算，相似三角形的判定和性質(zhì)以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，要注意的是（2）（3）中，要根據(jù)P點(diǎn)、Q點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類求解．