Question

如圖，平行四邊形ABCD中，點E為AB邊上一點，連接DE，點F為DE的中點，且CF⊥DE，點M為線段CF上一點，使DM=BE，∠DCM=

1

3

∠DMF．
（1）若AB=13，DE=10，求CF的長度；
（2）求證：CM=BC．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的對邊相等得出CD=AB=13，由F為DE中點，得出DF=

1

2

DE=5，然后在直角△DCF中利用勾股定理即可求出CF的長度；
（2）連接CE，根據(jù)∠DCM=

1

3

∠DMF，推出∠CDM=2∠DCM，根據(jù)CF⊥DE，F(xiàn)為DE中點，推出CD=CE，∠CDF=∠CEF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠CDF+∠BEF=180°，進(jìn)而推出推出∠CEB=2∠DCM，從而證得∠CDM=∠CEB，即可證得△CDM≌△CEB，推出CM=BC．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD=AB=13，
∵F為DE中點，
∴DF=

1

2

DE=5，
∵CF⊥DE，
∴CF=

CD2-DF2

=

132-52

=12；
                                            
（2）連接CE，
∵∠DCM=

1

3

∠DMF．
∴∠DMF=∠CDM+∠DCF=3∠DCM，
∴∠CDM=2∠DCM，
∵AB∥CD，
∴∠CDF+∠BEF=180°，
∴∠CDF+∠CEF+∠CEB=180°
∵CF⊥DE，F(xiàn)為DE中點，
∴CD=CE，∠CDF=∠CEF，
∴2∠CDF+∠CEB=180°，
∵∠CDF=90°-∠DCM，
∴∠CEB=2∠DCM，
∴∠CDM=∠CEB
在△CDM和△CEB中，

DM=EB ∠CDM=∠CEB DC=EC

，
∴△CDM≌△CEB（SAS），
∴CM=BC．

點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形外角的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．