【題目】如圖1,已知拋物線y=﹣x2+x+x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn),連接CD,過(guò)點(diǎn)DDHx軸于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)AAEACDH的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求線段DE的長(zhǎng)度;

(2)如圖2,試在線段AE上找一點(diǎn)F,在線段DE上找一點(diǎn)P,且點(diǎn)M為直線PF上方拋物線上的一點(diǎn),求當(dāng)CPF的周長(zhǎng)最小時(shí),MPF面積的最大值是多少;

(3)在(2)問(wèn)的條件下,將得到的CFP沿直線AE平移得到C′F′P′,將C′F′P′沿C′P′翻折得到C′P′F″,記在平移過(guò)稱中,直線F′P′x軸交于點(diǎn)K,則是否存在這樣的點(diǎn)K,使得F′F″K為等腰三角形?若存在求出OK的值;若不存在,說(shuō)明理由.

【答案】(1)2 ;(2) ;(3)見(jiàn)解析.

【解析】分析:(1)根據(jù)解析式求得C的坐標(biāo),進(jìn)而求得D的坐標(biāo),即可求得DH的長(zhǎng)度,令y=0,求得A,B的坐標(biāo),然后證得△ACO∽△EAH,根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例求得EH的長(zhǎng),進(jìn)繼而求得DE的長(zhǎng);

(2)找點(diǎn)C關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)N(4,),找點(diǎn)C關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)G(-2,-),連接GN,交AE于點(diǎn)F,交DE于點(diǎn)P,即G、F、P、N四點(diǎn)共線時(shí),△CPF周長(zhǎng)=CF+PF+CP=GF+PF+PN最小,根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求得直線GN的解析式:y=x-;直線AE的解析式:y= -x-,過(guò)點(diǎn)My軸的平行線交FH于點(diǎn)Q,設(shè)點(diǎn)M(m,-m+m+),則Q(m,m-),根據(jù)S△MFP=S△MQF+S△MQP,得出S△MFP= -m+m+,根據(jù)解析式即可求得,△MPF面積的最大值;

(3)由(2)可知C(0,),F(xiàn)(0,),P(2,),求得CF=,CP=,進(jìn)而得出△CFP為等邊三角形,邊長(zhǎng)為,翻折之后形成邊長(zhǎng)為的菱形C′F′P′F″,且F′F″=4,然后分三種情況討論求得即可.

本題解析:1)對(duì)于拋物線y=﹣x2+x+,

x=0,得y=,即C(0,),D(2,),

DH=,

y=0,即﹣x2+x+=0,得x1=﹣1,x2=3,

A(﹣1,0),B(3,0),

AEAC,EHAH,

∴△ACO∽△EAH,

=,即=

解得:EH=,

DE=2;

(2)找點(diǎn)C關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)N(4,),找點(diǎn)C關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)G(﹣2,﹣),

連接GN,交AE于點(diǎn)F,交DE于點(diǎn)P,即G、F、P、N四點(diǎn)共線時(shí),△CPF周長(zhǎng)=CF+PF+CP=GF+PF+PN最小,

直線GN的解析式:y=x﹣;直線AE的解析式:y=﹣x﹣,

聯(lián)立得:F (0,﹣),P(2,),

過(guò)點(diǎn)My軸的平行線交FH于點(diǎn)Q,

設(shè)點(diǎn)M(m,﹣m2+m+),則Q(m, m﹣),(0m2);

SMFP=SMQF+SMQP=MQ×2=MQ=﹣m2+m+

∵對(duì)稱軸為:直線m=2,開(kāi)口向下,

m=時(shí),△MPF面積有最大值: ;

(3)由(2)可知C(0,),F(xiàn)(0,),P(2,),

CF=,CP==

OC=,OA=1,

∴∠OCA=30°,

FC=FG,

∴∠OCA=FGA=30°,

∴∠CFP=60°,

∴△CFP為等邊三角形,邊長(zhǎng)為,

翻折之后形成邊長(zhǎng)為的菱形C′F′P′F″,且F′F″=4,

1)當(dāng)K F′=KF″時(shí),如圖3,

點(diǎn)KF′F″的垂直平分線上,所以KB重合,坐標(biāo)為(3,0),

OK=3;

2)當(dāng)F′F″=F′K時(shí),如圖4,

F′F″=F′K=4,

FP的解析式為:y=x﹣,

∴在平移過(guò)程中,F′Kx軸的夾角為30°,

∵∠OAF=30°,

F′K=F′A

AK=4

OK=4﹣1或者4+1;

3)當(dāng)F″F′=F″K時(shí),如圖5,

∵在平移過(guò)程中,F″F′始終與x軸夾角為60°,

∵∠OAF=30°,

∴∠AF′F″=90°,

F″F′=F″K=4,

AF″=8,

AK=12,

OK=11,

綜上所述:OK=3,4﹣1,4+1或者11.

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(3)如圖②,△ABC 是智慧三角形,BC 為智慧邊,∠B 為智慧角,A(3,0),點(diǎn) B,C 在函數(shù) y x>0)的圖像上,點(diǎn) C 在點(diǎn) B 的上方,且點(diǎn) B 的縱坐標(biāo)為.當(dāng)△ABC是直角三角形時(shí),求 k 的值.

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(2)稿費(fèi)高于800元,而低于4000元的應(yīng)繳納超過(guò)800元的那部分稿費(fèi)的14%的稅;

(3)稿費(fèi)為4000元或高于4000元的應(yīng)繳納全部稿費(fèi)的11%的稅,

試根據(jù)上述納稅的計(jì)算方法作答:

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進(jìn)價(jià)(/)

20

30

售價(jià)(/)

25

40

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(2)該超市將第一次購(gòu)進(jìn)的甲、乙兩種商品全部賣完后一共可獲得多少利潤(rùn)?

(3)該超市第二次以第一次的進(jìn)價(jià)又購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品,其中甲商品的件數(shù)不變,乙商品的件數(shù)是第一次的3倍:甲商品按原價(jià)銷售,乙商品打折銷售,第二次兩種商品都售完以后獲得的總利潤(rùn)比第一次獲得的總利潤(rùn)多800元,求第二次乙商品是按原價(jià)打幾折銷售?

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