【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線y=﹣x+b分別與x軸、y軸交于點A、B,且點A的坐標為(4,0),四邊形ABCD是正方形.
(1)填空:b= ;
(2)求點D的坐標;
(3)點M是線段AB上的一個動點(點A、B除外),試探索在x上方是否存在另一個點N,使得以O、B、M、N為頂點的四邊形是菱形?若不存在,請說明理由;若存在,請求出點N的坐標.
【答案】(1)3;(2)(7,4);(3)存在,(﹣2,)或(,)
【解析】
(1)把(4,0)代入y=﹣x+b即可求得b的值;
(2)過點D作DE⊥x軸于點E,證明,即可求得AE和DE的長,則D的坐標即可求得;
(3)分當OM=MB=BN=NO時;當OB=BN=NM=MO=3時兩種情況進行討論.
解:(1)把(4,0)代入y=﹣x+b,得:﹣3+b=0,解得:b=3,
故答案是:3;
(2)如圖1,過點D作DE⊥x軸于點E,
∵正方形ABCD中,∠BAD=90°,
∴∠1+∠2=90°,
又∵直角△OAB中,∠1+∠3=90°,
∴∠1=∠3,
在△OAB和△EDA中,
∴△OAB≌△EDA,
∴AE=OB=3,DE=OA=4,
∴OE=4+3=7,
∴點D的坐標為(7,4);
(3)存在.
①如圖2,當OM=MB=BN=NM時,四邊形OMBN為菱形.
則MN在OB的中垂線上,則M的縱坐標是,
把y=代入y=﹣x+3中,得x=2,即M的坐標是(2,),
則點N的坐標為(﹣2,).
②如圖3,當OB=BN=NM=MO=3時,四邊形BOMN為菱形.
∵ON⊥BM,
∴ON的解析式是y=x.
根據(jù)題意得:
解得:
則點N的坐標為(
綜上所述,滿足條件的點N的坐標為(﹣2,)或(.
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【題目】如圖,矩形EFGH的頂點E,G分別在菱形ABCD的邊AD,BC上,頂點F,H在菱形ABCD的對角線BD上.
(1)求證:BG=DE;
(2)若E為AD中點,FH=2,求菱形ABCD的周長.
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【題目】如圖所示,線段AC是⊙O的直徑,過A點作直線BF交⊙O于A、B兩點,過A點作∠FAC的角平分線交⊙O于D,過D作AF的垂線交AF于E.
(1)證明DE是⊙O的切線;
(2)證明AD2=2AEOA;
(3)若⊙O的直徑為10,DE+AE=4,求AB.
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【題目】舍利生生塔位于晉祠南瑞,建于隋開皇年間,宋代重修,清乾隆十六年(1751年)重建.七屋八角,琉璃瓦頂,遠遠望去,高聳的古塔,映襯著藍天白云,甚是壯觀.原塔內(nèi)每層均有佛像,開4門8窗,憑窗遠眺,晉祠內(nèi)外美景可一覽無余.如果在夕陽西下時欣賞寶塔,還會出現(xiàn)——天云錦、滿塔光輝的壯麗景觀,被譽為“寶塔披霞”.某數(shù)學“綜合與實踐”小組的同學把“測量舍利生生塔高”作為一項課題活動,他們制定了測量方案,并利用課余時間完成了實地測量,測量結(jié)果如表:
課題 | 測量舍利生生塔高 | |||
測量示意圖 | 說明:某同學在地面上選擇點C,使用手持測角儀,測得此時樓頂A的仰角∠AHE=α,沿CB方向前進到點D,測量出C,D之間的距離CD=xm,在點D使用手持測角儀,測得此時樓頂A的仰角∠AFE=β | |||
測量數(shù)據(jù) | α的度數(shù) | β的度數(shù) | CD的長度 | 該同學眼睛離地面的距離HC |
24° | 37° | 32m | 1.76m | |
… | … |
(1)請幫助該小組的同學根據(jù)上表中的測量數(shù)據(jù),求塔高AB.(結(jié)果精確到1m;參考數(shù)據(jù):sin24°≈0.41,cos24°≈0.91,tan24°≈0.45,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
(2)該小組要寫出一份完整的課題活動報告,除上表中的項目外,你認為還需要補充哪些項目?(寫出一個即可)
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【題目】在△ABC 中,AB=AC,點 M 在 BA 的延長線上,點 N 在 BC 的延長線上,過點 C 作CD∥AB 交∠CAM 的平分線于點 D.
(1)如圖 1,求證:四邊形 ABCD 是平行四邊形;
(2)如圖 2,當∠ABC=60°時,連接 BD,過點 D 作 DE⊥BD,交 BN 于點 E,在不添加任何輔助線的情況下,請直接寫出圖 2 中四個三角形(不包含△CDE),使寫出的每個三角形的面積與△CDE 的面積相等.
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【題目】如圖,在ABCD中,以點A為圓心AB長為半徑畫弧交AD于點F,再分別以點B,F為圓心,大于BF的長度為半徑畫弧,兩弧交于點P;連接AP并延長交BC于點E,連接EF.
(1)求證:四邊形ABEF是菱形;
(2)若∠C=60°,AE=4,求菱形ABEF的面積.
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【題目】拋物線與軸交于、兩點(點在點的左側(cè)),與軸交于點,點為拋物線頂點;
(1)求點和點的坐標;
(2)連結(jié)、,拋物線的對稱軸與軸交于點.
①若線段上有一點,使,求點的坐標;
②若拋物線上一點,作,交直線于點,使,求點的坐標.
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【題目】某縣教育局為了對該區(qū)八年級數(shù)學學科教學質(zhì)量進行檢查,對該區(qū)八年級的學生進行摸底,為了解摸底的情況,進行了抽樣調(diào)查,過程如下,請將有關問題補充完整.
收集數(shù)據(jù):隨機抽取學校與學校的各20名學生的數(shù)學成績(單位:分)進行
學校 | 91 | 89 | 77 | 86 | 71 | 31 | 97 | 93 | 72 | 91 |
81 | 92 | 85 | 85 | 95 | 88 | 88 | 90 | 44 | 91 | |
學校 | 84 | 93 | 66 | 69 | 76 | 87 | 77 | 82 | 85 | 88 |
90 | 88 | 67 | 88 | 91 | 96 | 68 | 97 | 59 | 88 |
整理、描述數(shù)據(jù):按如下數(shù)據(jù)段整理、描述這兩組數(shù)據(jù)
分段 學校 | 30≤x≤39 | 40≤x≤49 | 50≤x≤59 | 60≤x≤69 | 70≤x≤79 | 80≤x≤89 | 90≤x≤100 |
學校 | 1 | 1 | 0 | 0 | 3 | 7 | 8 |
學校 |
分析數(shù)據(jù):兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差如下表:
統(tǒng)計量 學校 | 平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) | 方差 |
學校 | 81.85 | 88 | 91 | 268.43 |
學校 | 81.95 | 86 | m | 115.25 |
得出結(jié)論:
:若學校有800名八年級學生,估計這次考試成績80分以上(包含80分)人數(shù)為多少人?
:根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),推斷出哪所學校學生的數(shù)學水平較高,并說明理由.(至少從兩個不同的角度說明推斷的合理性)
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