Question

【題目】拋物線與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)；

（1）求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）連結(jié)、，拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)．

①若線段上有一點(diǎn)，使，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

②若拋物線上一點(diǎn)，作，交直線于點(diǎn)，使，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）①；②或

【解析】

（1）令y=0，找到A、B兩點(diǎn)的左邊，在進(jìn)行配方，便可找到D點(diǎn)坐標(biāo).

(2)①先找C、D的坐標(biāo)，連接，過點(diǎn)作于，則點(diǎn)坐標(biāo)為，判斷為直角三角形，分別延長(zhǎng)、，與軸相交于點(diǎn)，。去證明，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例，找到Q的坐標(biāo)，從而求出直線、直線解析式，這樣便可找到P的坐標(biāo)了.

②分兩種情況討論（I）當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)（II）當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)。通過找三角形相似，結(jié)合等腰三角形性質(zhì)，進(jìn)行求解，最后找到點(diǎn)M的坐標(biāo).

解：（1）拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），

當(dāng)時(shí)，，

解得或，

點(diǎn)的坐標(biāo)為．

，

頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；

（2）①如下圖

拋物線與軸交于點(diǎn)，

點(diǎn)坐標(biāo)為．

對(duì)稱軸為直線，

點(diǎn)的坐標(biāo)為．

連接，過點(diǎn)作于，則點(diǎn)坐標(biāo)為．

，

，

，，為直角三角形．

分別延長(zhǎng)、，與軸相交于點(diǎn)，．

，

，

，

，

，

，即．

直線的解析式為，

直線的解析式為．

由方程組，解得．

點(diǎn)的坐標(biāo)為；

②（I）當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)

若點(diǎn)在射線上，如備用圖1，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)．

，，

，

，

．

設(shè)，則．

，

，均為等腰直角三角形，

，，

，

，

，

代入拋物線，解得，

；

備用圖1

若點(diǎn)在射線上，如備用圖2，交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)．

，，

，

．

設(shè)，則．

，

，均為等腰直角三角形，

，，

，

，

，

．

代入拋物線，解得

；

（II）當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)

，

，

而拋物線左側(cè)任意一點(diǎn)，都有，

點(diǎn)不存在

綜上可知，點(diǎn)坐標(biāo)為或．

備用圖2